大学物理-第四章--机械振动和机械波

第七章本章内容第一节机械振动动画动画用图动力学方程动力学方程x正X向反X向微分形式微分方程弹簧振子x动画例运动方程AA最大最大最大振动曲线特征参量振幅、角频率初相相位相位差计算方法例At0xxot0t矢量图法振幅矢量vA∴质点的投影点在轴上做简谐振动)tcos(Ax0x=Acos(t﹢)简谐运动方程旋转矢量AAXXOM(0)A初相矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标M(t)tM(t)ttM(t)M(t)ttM(t)tM(t)M(t)tM(t)tM(T)T周期TxOM(0)初相M(t)tAt时刻的振动相位(t﹢)旋转矢量A以匀角速逆时针转动x=Acos(t﹢)简谐运动方程循环往复例例21xt时，找特殊点，由旋转矢量法，知232134例例4-4物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0s，t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求(1)t=0.5s时物体的位移；(2)何时物体第一次运动到x=5cm处?(3)再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处?解由已知条件，该谐振动在t=0时刻的旋转矢量位置如图所示.由图及初始条件可知23由于22s,TT所以,该物体的振动方程为20.1cos3xtx0t-5O(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为20.1cos0.50.087m3x(2)当物体第一次运动到x=5cm处时，旋转矢量从初始位置转过的角度为π，如图所示，所以有1t即11s2Tt(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过23)2123ttt22s333Ttx0t23-552t1t振动能量谐振子能量AAA简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAEEBCAApExO续上能量表达式例书例8能量能量第三节第三节4-4composeofsimpleharmonicmotion振动合成振动合成同向同频合成同向同频合成振幅合振幅合振动分振动；其中，合振幅若为合振幅可能达到的最大值若则则若则值为合振幅可能达到的最小若则若为其它值，则处于与之间例书例9例书例11第一节机械波的产生波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。振动的传播过程称为波动。产生机械波的必要条件：横波软绳波的传播方向质点振动方向软绳质点振动方向波的传播方向抖动一下，产生一个脉冲横波连续抖动，产生连续横波质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波抽送一下，产生一个脉冲纵波软弹簧软弹簧波的传播方向质点振动方向连续抽送，产生连续纵波波的传播方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。质点的振动方向与波的传播方向平行机械波传播特征波长周期波速波速单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。或波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。周期波形移过一个波长所需的时间。频率周期的倒数。,取决于波源振动频率。波传播方向波速几何描述波前波面波线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）沿波的传播方向的射线。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。第一节平面简谐波正向波波函数三种表达式负向波一般形式例])(cos[0uxtAy]0)40(200cos[02.0)5200(cos02.0)2005(cos02.0xtxttxy比较可知：20040u100120022THZT1001muT4.0100140正向波反向波])10(2cos[2.0xty2smu/10sT1222HZ1muT10110例说明X-d点的相位比x点的相位落后例物理意义若给定某点P的，波函数变为P点处质点的距原点为处质点振动的初相P点的若给定，波动方程表示所给定的时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的t1时刻的例例2340T0由旋转矢量法知t＝T/4时的相位T/42121121222xxxxxu11122212222222xxtttuTTxxtttuTT两点的相位差为其初相位差：21xxx两点的波程差为：在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：cosxyAtu波函数1波的能量波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动，因而有动能，质元还要发生形变因而有弹性势能.动能与弹性势能的总和即为该质元含有的波的能量.在波线上坐标为x处取一个体积元△V，其质量dm=△V)(cosuxtωAy该体积元的振动速度为ωsin()yxAωttu设平面简谐波为xxOx该体积元△V的动能为2222k11ωsinω()22xWmVAtu可以证明，因为介质形变，体积元△V的势能与动能相等222pk1sin()2xWWVAtu在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和机械能都是时间t的周期性函数，它们同时最大——平衡位置，同时最小（为零）——最大位移处。体积元△V的机械能为222kpsin()x222sin()WxwAtVu单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度。()w能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度。)w22222011ωsinω()d2TxwAttATu2波的能流单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P表示。能流密度：/PSwuPwuS对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度，以I表示。又称波的强度。2212PIwuAuS在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-22AI2IudtuS3波的振幅在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变，并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的总能量就相等，这是能量守恒定律要求的.对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度分别为I1,I2.由于S1＝S2，且根据能量守恒，在单位时间有1122ISIS所以12II从而12AA对球面波1s2s1r2r2222221221π421π421ruAruA1122ISIS仍有即1221rrAA所以（振幅与半径成反比）令221,,1(AArrr单位）有1/AAr由此可写出球面简谐波的波动方程))1c//ostryAr其中号表示波的传播方向。第一节在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在t时刻这些子波源发出的子波，经Δt时间后形成半径为uΔt(u为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包迹就是t+Δt时刻的新波面.这就是惠更斯原理.球面波平面波O1R2Rtuut障碍物的小孔成为新的波源原波阵面新波阵面S1S2t时刻t+t时刻ut反射线与入射线和界面法线位于同一平面内，并且入射线与法线的夹角(入射角)等于反射线与法线的夹角(反射角).这就是波的反射定律.1波的反射N界面RN界面Ii'irRA用惠更斯原理证明反射定律波的反射定律用惠更斯原理证明反射定律设平面波AB以波速v入射到两种介质1和2的分界面MN上.在不同时刻，波前的位置分别为AB，CC＂，DD＂，EE＂，….由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA=BB′，CC′=C＂B′，DD′=D＂B′，EE′=E＂B′，….中心在A，C，D，E，…的一组圆柱面的包迹A′B′就是反射波的波前.当振动由点B传至点B′，由C＂，传至B′…时，在点A，C，D，E，…发出的次波分别通过了由半径AA′，CC′，DD′，EE′，…所决定的距离.1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；21sinsinuuri2）2波的折射N界面RN界面Ii'irRA用惠更斯原理证明折射定律波的折射定律当波在第一种介质中通过距离BB′时，波在同一时间内将在另一种介质中通过距离AA′.二者之比应等于波在两种介质中的波速u1、u2之比，即有用惠更斯原理证明折射定律''12//BBAAuu因为''''sin,sinBBABiAAABr所以'1'2sinsiniBBurAAuir水波通过狭缝后的衍射波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向发生改变，能绕过障碍物的现象.波的衍射····a障碍物的小孔成为新的波源第一节实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互不影响，这称为波传播的独立性.在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.1波传播的独立性2波的叠加原理波叠加原理过程分解过程分解两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这一现象称为波的干涉。1）频率相同；2）振动方向相同；3）相位相同或相位差恒定。波的相干条件1s2sP*1r2r1s2sP*1r2r波源振动10101cos()yAt20202cos()yAt1111cos(2π)ryAt2222cos(2π)ryAtP点的两个分振动P点的合振动为12cos()yyyAtP点的合振动为12cos()yyyAt其中2212122cosAAAAA其中两个分振动的相位差为21122π()()rr由于的值是由波源决定的，且对空间各点此值都相同，故可令其为零，从而有12212π()rr212π()rr说明2212122cosAAAAA1）当时，即212π()2,0,1,2rrkk21AAA合振幅最大，振动最大加强21,0,1,2rrkk波程差2）当时，即)212π()21,0,1,2rrkk12AAA合振幅最小，振动最大减弱2121,0,1,22krrk波程差2121AAAAA3)其他波程差21AAA合振幅最大，振动最大加强21,0,1,2rrkk1）波程差12AAA合振幅最小，振动最大减弱2121,0,1,22krrk2)波程差对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度与波速u的乘积u较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节.入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.在两种介质的分界处形成波节还是波腹是由介质的密度和波速u的乘积决定的。当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变，没有半波损失。驻波的规律在声学(包括音乐)、无线电学、光学(包括激光)等学科中都有着重要的应用.往往可以利用驻波测量波长或系统的振动频率.