线性代数练习题——矩阵相似对角化

2007-12-24国际关系学院国经系1练习题(四)练习题(四)矩阵相似对角化矩阵相似对角化2007-12-24国际关系学院国经系21．在R3中与都正交的向量β=———()()1,1,1,11,121−−=−=αα解.设β=(a,b,c)因β与都正交,于是有21,αα⎩⎨⎧=−+−=−+00cbacba任取c=k，则b=k,a=0,即β=(0,k,k)k为任意实数。2007-12-24国际关系学院国经系32、若A~E,则A=。解：∵A~E，即存在可逆矩阵P，使EAPP=−1分别左乘P，右乘,得1−PEPPEPPA===−−11EA=∴2007-12-24国际关系学院国经系43．设试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=014,131,121321ααα2007-12-24国际关系学院国经系5解：容易验证的线性无关性。取，则321,,ααα11αβ=()()1111222,,ββββααβ−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=12164131⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=11135()()()()222231111333,,,,ββββαββββααβ−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1113512131014⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=10122007-12-24国际关系学院国经系6把单位化得321,,βββ即为所求321,,ηηη()TT⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==61,62,611,2,161111ββηT⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=31,31,31T⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=21,0,21()T1,1,131222−==ββη()T1,0,121333==ββη2007-12-24国际关系学院国经系74.试证：如果α与都正交，那么α与的任一线性组合也正交。s∴α与γ正交βββ,,,21Lsβββ,,,21L证：∵α与都正交i=1,2，...，s），设γ是的线性组合。即sβββ,,,21L()0,=∴iβαsβββ,,,21Lsskkkβββγ+++=L2211那么()()sskkkβββαγα+++=L2211,,()()()0,,,2211=+++=sskkkβαβαβαL2007-12-24国际关系学院国经系85．设矩阵与矩阵相似，则a=。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100001011A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1010101aaB2007-12-24国际关系学院国经系9解：∵相似矩阵具有相同的行列式，即有分别计算等式两边的行列式，得－1=2a从而100001011−−=ABaa=−−=101010121=a2007-12-24国际关系学院国经系106．设矩阵则A2－2A+2E的特征值为[]则若λ为A的特征值，那么f(A)的特征值为f(λ)。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2032A解：显见A的特征值为2，设,()222+−=xxxf∴的特征值为2。()EAAAf222+−=()2222222=+×−=f∵2007-12-24国际关系学院国经系117、设计算A10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2101A解：先求A的特征值，由再求对应的特征向量：对于λ1=1,解(E－A)x=0，得特征向量α1=(1,1)T得A的特征值为λ1=1,λ2=2()()0212101=−−=−−=−λλλλλAE对于λ2=2,解(2E－A)x=0，得特征向量α2=(0,1)T2007-12-24国际关系学院国经系12从而()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−−101010110120012001PAPAPP⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−11012001110120011011010PPA⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=101022101⎟⎠⎞⎜⎝⎛=1101P取则⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−20011APP2007-12-24国际关系学院国经系13此题亦可用递推方法计算：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=21012101A2=AA⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=4301⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2222101AAA23=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=4301⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2101⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=8701⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=33221012007-12-24国际关系学院国经系14AAA910=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=9922101⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2101⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=101022101………………………………2007-12-24国际关系学院国经系15故－1是A的特征值证：事实上，由于，于是EAAT=AEAT−−=EAT−−−=()TTEA−−−=AE−−−=8.设A是n阶正交矩阵，且证明－1是A的一个特征值。1−=A1−==AATAAAAET−−=−−即02=−−AE也就是0=−−AE2007-12-24国际关系学院国经系16可见相似必然等价。但等价未必相似。9、两个矩阵如果等价，它们是否相似？反之，如果相似是否等价？哪些矩阵与单位矩阵等价？哪些矩阵与单位矩阵相似？解：若A经有限次初等变换变到B，称A、B等价，即存在使得：smQQQPPP,,,,,,,2121LLBQQAQPPPsm=LL2121即，其中P,Q可逆。BPAQ=A、B相似是指存在可逆的P，使得BAPP=−12007-12-24国际关系学院国经系17可逆矩阵都与单位矩阵等价，因为可逆矩阵经有限次的初等变换总可以变为单位矩阵。任何可逆矩阵都与单位阵等价，而只有单位阵才与单位阵相似。所以两个矩阵等价，两个矩阵未必相似。EPEPAEAPP==⇒=−−11与单位矩阵相似的，只有单位矩阵自已。∵若A~E，即存在可逆的P，使得2007-12-24国际关系学院国经系1810.设A,B均为n阶方阵，且A～B.试判断下列结论是否正确。①A、B有相同的特征值与特征向量；②存在对角阵Λ，使A、B都相似于Λ；③④R(A)=R(B)；⑤(k是正整数）；⑥若A可逆，则B也可逆，且。TTBA~kkBA~11~−−BA2007-12-24国际关系学院国经系19解：①、②错，③、④、⑤、⑥正确。①、相似矩阵有相同的特征值，但特征向量未必相同。②、其实，两矩阵相似与它们可否对角化无直接关系，比如显然，自已与自已相似，显然它不能对角化。2007-12-24国际关系学院国经系20③、由A~B，即有可逆的P，使两端同时取转置，如果以Q表示其中Q可逆。2007-12-24国际关系学院国经系21④，可逆矩阵可视为有限个初等矩阵的乘积，相当于进行一系列的初等变换。而初等变换是不改变矩阵的秩的。∴R(A)=R(B)、⑤由kkBA~∴kBPAPk1−=2007-12-24国际关系学院国经系22⑥、由A~B,,P可逆若A可逆，上式左边为三个可逆阵的乘积，可逆矩阵的乘积仍可逆。∴B也可逆。对上式两端同时取逆：∴2007-12-24国际关系学院国经系2311、判断以下说法是否正确：n阶方阵A可对角化的充要条件是：①A有n个相异的特征值；②有n个相异的特征值；③A有n个不相同的特征向量；④A有n个线性无关的特征向量。⑤A的任一特征值的代数重数与其线性无关的特征向量的个数相同。⑥A对于每一个重特征值矩阵的秩是。()miiL,2,1=λinAEi−λinn−TA2007-12-24国际关系学院国经系24解：A与AT有n个相异的特征值，是A可对角化的充分条件，并非必要条件。∴①、②错。⑥的说法中所说的条件，与⑤中所提的条件是同一条件。的秩=，即属于的线性无关的特征向量共有个(几何维数),与的代数重数一致。AEi−λinn−iniλiλA有n个不同的特征向量是A可对角化的必要条件，但不是充分条件。∴③错。④、⑤、⑥是正确的。