第三章-控制系统时间响应分析

第三章控制系统的时间响应分析线性系统的时域分析法典型输入信号一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析3.1时间响应及典型输入信号分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是未知的、随机的，很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些典型输入信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。3.1.１典型输入信号Typicaltestsignals原则：(1)选取的输入信号应尽可能反映系统工作的大部分实际情况(2)选取的输入信号应尽可能简单，便于分析处理(3)所选的输入信号能使系统在最不利的情况下工作。突然受到恒定输入作用或突然的扰动，采用阶跃函数较合适。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Stepfunction）0,)(1tt恒温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Rampfunction）速度0,tt（单位）加速度函数（Accelerationfunction）抛物线0,212tt（单位）脉冲函数（Impulsefunction）0,)(tt正弦函数（Simusoidalfunction）Asinut，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。3.1.2动态过程和稳态过程系统时间响应：控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的过程称为系统时间响应．在典型输入信号作用下时间响应的组成：瞬态响应和稳态响应（TransientResponse&＆Steady_stateResponse）由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。1瞬态响应：指系统从初始状态到最终状态的响应过程。2稳态响应：是指当时间t趋近于无穷大时，系统的输出状态．瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态响应则表征系统输出量最终复现输入量的程度（即衡量系统精度）。tC(t)k动态性能指标延迟时间（DelayTime）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（RiseTime）对过阻尼系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%（而对欠阻尼系统响应曲线从0上升100%)，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快dt:rt峰值时间（PeakTime）：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。pt0tMp超调量允许误差10.90.50.1trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(htr0tMp超调量允许误差10.90.50.1trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h动态性能指标0tMp超调量允许误差10.90.50.1trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h调整时间：（SettlingTime）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）。超调量（MaximumOvershoot）：指响应曲线超出稳态值的最大偏离量dtstpM或%%100)()()(%hhthprt或pt评价系统的响应速度；st同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。%评价系统的阻尼程度。%100%pM3.2一阶系统时间响应用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。所示的RC电路，其微分方程为i(t)+r(t)c(t)+（a）电路图RC)()()(trtCdttdCRC)()()(trtCtCT其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为11)()()(TSsRsCsR(s)C(s)（c）等效方块图这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。dttdcCtidttiCtc)()()(1)()()()(sRsCsTsC3.2.1一阶系统单位阶跃响应Unit-StepResponseofFirst-orderSystem因为单位阶跃函数的拉氏变换为SsR1)(，则系统的输出由下式可知为11111)()()(TSTSSTSsRssC对上式取拉氏反变换，得11)()()(TSsRsCsTtetc1)(0t注**：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在0t时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要t＝T时，输出c(t)就能达到其终值。T1T1T1图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)-trt1t2tsts由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：Ttd69.0Ttttr20.21205.03Tts％不存在和pt时间常数T是一阶系统的重要参数，反映系统过渡过程快慢的指标，从响应曲线可知T越大，系统对信号的输出响应越慢，惯性越大，相反T越小，系统响应越快T1T2T3tc(t)1由此而得：T1T2T35.01)(Ttddetc02.04Tts)()()(12tctctcr3.2.2一阶系统的单位脉冲响应Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即11)(TSsC这时相同的输出称为脉冲响应记作c(t)，因为)]([)(1sCLtc,其表达式为01)(teTtcTtT4T3T2TtC(t)一阶系统单位脉冲响应1/T3.2.3一阶系统的单位斜坡响应Unit-rampResponseoffirst-orderSystems2S1R(s)TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222当对上式求拉氏反变换，得：tTtTTeTteTttc11)1()(因为)1()()()(1tTeTtctrter(t)c(t)r(t)c(t)t0图3-5一阶系统的斜坡响应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为Tteetss)(lim上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同1)(,1)(ttctr②由于系统存在惯性，)(tc从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t0tTeTtTt01teTt)0(1teTTt)(tS121S11TS微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。eg：某温度计用1/(Ts+1)的传递函数描述其特性，现用此温度计测量盛在容器内的水温，测量数据表明，需要1分钟的时间才能指示实际温度98％的数值，试求温度计指示实际水温从10％变化到90％所需要的时间（即求tr）解：Ttetc1)(sTTts15604误差0.021.01Ttte9.012Tte921Tttestttr339ln15123.3二阶系统的时间响应TimeResponseAnalysisofSecond-orderSystems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。一．二阶系统的数学模型Mx(t)y(t)kf质量弹簧阻尼系统，其系统加入外力为输入x(t)，质量块位移为输出y(t)，其输入和输出之间的关系可以表示为)()()()(txtkytyftymkfsmssXsYsG21)()()()12(1111)(222nnsskskfskmksGmknmkf12—系统固有频率—系统阻尼比二阶系统的标准形式，其相应的方块图如图所示S(S+2ξωn)ωn2R(s)C(s)图3-8标准形式的二阶系统方块图_n－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和n加以描述,二阶系统的特征方程：0222nnSS122,1nnS二．二阶系统的单位阶跃响应Unit-StepResponseofSecond-Ordersystem222222121)(nnnssTssTs0两个正实部的特征根发散10，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统1，为两个相等的根10，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根图3-9二阶系统极点分布左半平面ξ00ξ1ξ=1两个相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0jω右半平面ξ0ξ1两个不等根0二阶系统极点分布122,1nnS22,11nnjSnS2,1122,1nnSnjS2,10222nnSSCase1欠阻尼(10)二阶系统的单位阶跃响应22,11nnjS令n－衰减系数dj21nd－阻尼振荡频率2222)()()(nnnSsRsCs2222)()(1dnndnnSSSSSSSsRssCnnn12)()()(222对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为]sin1[cos1)(2ttetcddtn0)sin(1112ttedtn2222)()(1dnndnnSSSS2211dnnddnd121稳态分量瞬态分量arccos12arctg稳态分量为1，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差；瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为包络线211tne决定收敛速度d－阻尼振荡频率0时，0sin1)(ttthn这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为n－－故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数确定tC(t)1100曲线特点：欠阻尼系统单位阶跃响应曲线呈衰减振荡，最后趋于稳定．Case2临界阻尼(1)SsRttr1)(,)(1)(nnnnnSSSSSsC1)(11)()(222临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应0)1(11)(tteetetcnttntnnn当1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳