解答题《导数》答题模板

解答题《导数》答题模板模板：函数的单调性、最值、极值问题【典例】(2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．思维启迪(1)由解析式和切点求切线方程，先求斜率，用点斜式方程求切线方程．(2)根据导数求函数中的参数取值范围步骤：求导→求导函数的零点→确定导函数在区间中的正、负→确定函数中的参数范围.规范解答示例解(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为:y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)因为f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：x(－12，0)0(0，12)f′(x)＋0－f(x)增极大值减当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f(－12)0，f(12)0，即5－a80，5＋a80.解不等式组得－5a5.因此0a≤2.②若a2，则01a12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，1a)1a(1a，12)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f(－12)0，f(1a)0，即解不等式组得22a5或a－22.因此2a5.综合①②，可知a取值范围为0a5构建答题模板第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.第二步：求f(x)的导数f′(x).第三步：求方程f′(x)＝0的根.第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.第六步：明确规范地表述结论.第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为x1＝0，x2＝1a.要确定x1，x2与区间端点值的大小，就必须对a进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点..02110852aa规律方法总结数学解答题虽然灵活多变，但所考查数学知识、方法，基本数学思想是不变的，重点是思维过程、规范解答、反思回顾．结合着具体题型给出了答题程序．希望能够举一反三，对答题有所帮助.训练题.（2013浙江）已知aR，函数32()23(1)6fxxaxax.(Ⅰ)若1a，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；(Ⅱ)若1a，求()fx在闭区间1,2a上的最小值.解：（Ⅰ）当1a时，32()266fxxxx，2()6126fxxx，(2)6f又因为(2)4f，所以切线方程为46(2)yx，即68yx（Ⅱ)设()fx在闭区间1,2a上的最小值()ga.2()66(1)6fxxaxa6(1)()xxa，令()0fx，得11x，2xa，①当1a时，比较(0)0f和2()(3)faaa的大小可得：20,13()(3),3agaaaa②当1a时，由上表可得：()31gaa.x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af′(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值2(3)aa单调递增34ax0(0,1)1(1,-2a)-2af′(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增322824aa综上所述，()fx在闭区间1,2a上的最小值为:231,1()0,13(3),3aagaaaaa