高考专题复习：二次求导-教师

高考专题：二次求导例题1、已知函数f(x)＝lnx－.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．例题2、设f(x)＝lnx＋ax(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，证明：x∈[1，2]时，f(x)－3成立．例题3.已知函数函数在x=1处的切线与直线垂直.（1）求实数a的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.例题4、已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．强化训练1、已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求实数的最小值；（Ⅲ）求证：（）2.已知函数（Ⅰ）试判断函数的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：.参考答案例题1、【解】(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a0，∴f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f(x)x2，∴lnx－x2.又x0，∴axlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)h(1)＝－20，即g′(x)0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立．那a的取值范围是[－1，＋∞)．例题2、【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，当a0时，f′(x)0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．当a0时，f′(x)＝，由f′(x)0得0x－；由f′(x)0得，x－.∴函数f(x)在(0，－)上是增函数；在(－，＋∞)上是减函数．(2)证明：当a＝1时，f(x)＝lnx＋x，要证x∈[1，2]时，f(x)－3成立，只需证xlnx＋x2－3x－10在x∈[1，2]时恒成立．令g(x)＝xlnx＋x2－3x－1，则g′(x)＝lnx＋2x－2，设h(x)＝lnx＋2x－2，则h′(x)＝＋20，∴h(x)在[1，2]上单调递增，∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，即0≤g′(x)≤ln2＋2，∴g(x)在[1，2]上单调递增，∴g(x)≤g(2)＝2ln2－30，∴当x∈[1，2]时，xlnx＋x2－3x－10恒成立，即原命题得证．例题3、解：(1)∵，.∵与直线垂直，∴，∴.（2）由题知在上有解，设，则，所以只需故b的取值范围是.，故所求的最小值是例题4、（1）时，由得得故的减区间为增区间为（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时，令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为（3），当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为当时，不合题意当时，故①此时，当变化时，，的变化情况如下—0+↘最小值↗时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③令令得，当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立由③解得④，由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立强化训练1、解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴①，∴②①②联立，解得∴（Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立；设，，∴只需证对于任意的有设，1）当，即时，，∴在单调递增，∴2）当，即时，设是方程的两根且由，可知，分析题意可知当时对任意有；∴，∴综上分析，实数的最小值为.（Ⅲ）令，有即在恒成立-令，得∴，∴原不等式得证.强化训练2、【解析】：（Ⅰ）故在递减…3分（Ⅱ）记………5分再令在上递增。，从而故在上也单调递增（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知：恒成立，即令则………10分，，…叠加得：