2-3-1-离散型随机变量的均值(一)

高考调研第二章随机变量及其分布第1页新课标A版·数学·选修2-3第二章随机变量及其分布高考调研第二章随机变量及其分布第2页新课标A版·数学·选修2-32．3离散型随机变量的均值与方差高考调研第二章随机变量及其分布第3页新课标A版·数学·选修2-3第一课时离散型随机变量的均值(一)高考调研高考调研第4页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3课时学案课时作业高考调研高考调研第5页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-31.离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．高考调研高考调研第6页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-32.离散型随机变量的性质若X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(X＝xi)＝，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝＝.3.两点分布与二项分布的均值XX～B(n，p)X服从两点分布E(X)P(Y＝axi＋b)E(aX＋b)aE(X)＋bnpp(p为成功概率)高考调研高考调研第7页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-31.离散型随机变量的均值(1)由定义可知离散型随机变量的数学期望与它的本身有相同的单位．(2)随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．高考调研高考调研第8页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-32.均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(1)当a＝0时，E(b)＝b，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和；高考调研高考调研第9页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3(3)当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.高考调研高考调研第10页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3课时学案高考调研高考调研第11页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3例1(1)(2015·淄博高二检测)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8题型一均值的求法高考调研高考调研第12页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3(2)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．①求这3个数中恰有1个是偶数的概率；②记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．高考调研高考调研第13页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】(1)由题意可知4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，0.5＋0.1＋b＝1，故a＝7，b＝0.4.(2)①记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝C14C25C39＝1021.②随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是高考调研高考调研第14页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3ξ012P51212112所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.【答案】(1)C(2)①1021②略．高考调研高考调研第15页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3探究1求期望一般分为四步：(1)确定X可能的取值；(2)计算P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．高考调研高考调研第16页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3思考题1在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列和均值E(X)．高考调研高考调研第17页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【思路】本题(1)可直接用古典概型求概率，也可从其对立事件“2张都不中奖”考虑，间接求解；(2)可以设中奖的奖品价值为随机变量X，然后写出X的所有可能的取值及X的分布列，进而求出E(X)．高考调研高考调研第18页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】(1)方法一：设“该顾客中奖”为事件A，则P(A)＝1－P(A)＝1－C26C210＝1－1545＝23.方法二：P(A)＝C14C16＋C24C210＝3045＝23.即该顾客中奖的概率为23.高考调研高考调研第19页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3(2)X的所有可能值为0,10,20,50,60，且P(X＝0)＝C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，P(X＝60)＝C11C13C210＝115.故X的分布列如下.高考调研高考调研第20页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3X010205060P1325115215115从而均值E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.高考调研高考调研第21页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3例2已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．题型二均值性质的应用高考调研高考调研第22页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【思路】解答本题可先由分布列的性质求出m的值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而对于(3)可以直接利用公式，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可以先写出Y的分布列，再求E(Y)．高考调研高考调研第23页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16.(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－1730)－3＝－6215.高考调研高考调研第24页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下Y－7－5－3－11P14131516120所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.高考调研高考调研第25页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3探究2求均值的关键是求出分布列，只要求出了随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解，当然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定义求解．高考调研高考调研第26页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3思考题2(1)已知随机变量X的分布列为X024P0.4m0.3求：①E(X)；②若Y＝5X＋4，求E(Y)．高考调研高考调研第27页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】直接利用离散型随机变量的均值公式及性质求解．①由随机变量分布列的性质，得0.4＋m＋0.3＝1.∴m＝0.3.∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.②由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.高考调研高考调研第28页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3(2)设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.【解析】由分布列的性质，可得P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1.即(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，化简，可得10a＋4b＝1.①由数学期望公式，可得E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝30a＋10b.高考调研高考调研第29页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3∴30a＋10b＝3.②由①，②联立，解得a＝110，b＝0，∴a＋b＝110.【答案】110高考调研高考调研第30页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3例3某运动员投篮命中率为P＝0.8.(1)求一次投篮时命中次数ξ的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．【思路】根据题意，ξ服从两点分布，η服从二项分布，由相应公式可得ξ、η的期望值．题型三两点分布的均值高考调研高考调研第31页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为ξ01P0.20.8，则E(ξ)＝0.8.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.8)，则E(η)＝np＝5×0.8＝4.高考调研高考调研第32页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3探究3解这类题的关键要准确判断变量是否服从二项分布、两点分布．高考调研高考调研第33页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3思考题3在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？【解析】显然这里的得分X服从参数p＝0.7的二点分布，∴E(X)＝0.7.故他罚球1次的得分X的均值为0.7.高考调研高考调研第34页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3例4一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选对正确答案得4分，不做选择或选错不得分，满分100分．张强选对任一题的概率为0.8，求他在这次数学测验中的成绩的期望．题型四二项分布的均值高考调研高考调研第35页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布X～B(25,0.8)，其数学期望可有简便算法．设张强做对选择题的个数为X，则X～B(25,0.8)，所以E(X)＝np＝25×0.8＝20.因为答对每题得4分，所以张强在这次数学测验中的成绩为4X，其成绩的期望值为E(4X)＝4E(X)＝4×20＝80.高考调研高考调研第36页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3探究4本例中，利用二项分布的均值公式E(X)＝np快速地求出所求的期望值，当n的值越大时，这一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时，需要注意的是，只有随机变量X服从二项分布时，才能运用该公式来求均值．高考调研高考调研第37页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3思考题4某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间内来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？【思路】可能来多少人，是一个随机变量．由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行．高考调研高考调研第38页第二章2.3第一课时新课标A版·数学·选修2-3【解析】设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3000)，所以P(ξ＝k)＝Ck3