名校高等代数历年考研试题(1-3章)

第一章多项式例 1.1（华南理工大学， 2006年）设()() x g x f , 是数域F 上的多项式. 证明：()() x g x f | 当且仅当对于任意的大于1的自然数n有，()(). | x g x f n n 证明必要性显然成立，下证充分性. 设() gx 在数域F 上的不可约分解为()()()() 12 12 k lll k gxcpxpxpx=×××，其中() ,1,2,..., i l i pxik=是互不相同的不可约多项式. 若有()() | nn fxgx ，则()()()() 12 12 ,0,1,2,...,. k nfnfnf n kii fxdpxpxpxflik=×××££=其中d 是某个常数，因此有()() x g x f | . 例 1.2（大连理工大学，2007 年）设()()() x h x g x f , , 是实系数多项式，如果()()() x xh x xg x f 2 2 2+=，则()()() . 0=== x h x g x f 证明由()()()() 222 fxxgxhx=+，可知() 2 | xfx ，易推得() | xfx . 于是有()() 2221 fxxfx=，代入方程并在两边约去 x 有()()() x h x g x xf 2 2 21+= (*) 于是有()()() 22 | xgxhx+，若多项式() gx 或() hx 中的常数项不为零的话，都可以推出()()() x h x g x 2 2 |+于是有()()()()() x h x g x x h x g 2 1 2 1 2 2 2+=+代入(*)式并约去 x 有()()()() x h x g x x f 2 1 2 1 21+=这样又回到原来的方程，所不同的是()()() 111 ,, fxgxhx 比()()() ,, fxgxhx 的次数要小 1. 于是经过有限次后必可以使得方程的左边为零次多项式，即为某个常数c，使得()()() x h x g x c k k 2 2+=比较两边的次数易得 0= c ，并代入方程有()() 0 2 2=+ x h x g k k 于是()() 0== x h x g k k 那么()()() ,, fxgxhx 都是某个多项式乘以数0. 由此可推得()()() 0=== x h x g x f . 例 1.3（大连理工大学，2007年）证明多项式 1 | 1-- n d x x 的充分必要条件是 n d| . 证明充分性显然，下证必要性. 若 d r r dq n+= 0 , ，则()() 1 1 1 1-+-=-+-=- r dq r r r n n x x x x x x x 由于 1- dq x 可被 1- d x 整除，而 1- r x 不能被 1- d x 整除，于是 1- n x 不能被 1- d x 整除.由其逆否命题可知必要性成立. 例 1.4 （北京科技大学，2004年）求一个三次多项式() x f ，使得() 1+ x f 能被() 2 1- x 整除，而() 1- x f 能被() 2 1+ x 整除. 解由题知() 'fx 能被() 1 x-和() 1 x+整除，又由() fx 是一个三次多项式，那么() 'fx 是一个二次多项式，于是可设()()() a ax x x a x f-=-+= 2 ' 1 1 积分易得() 3 3 a fxxaxb=-+（其中a, b为常数）由题设可知() 1 fx=-，易解得3 2 0 a bì=ïíï=î那么显然有() x x x f 2 3 2 1 3-= . 例 1.5（兰州大学，2004）设 () fx 和 () gx 是数域F上的两个不完全为零的多项式，令{[]} ()()()()(),() IuxfxvxgxuxvxFx=+Î证明：(1) I 关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的 () hxIÎ和任意的[] (), kxFxÎ有 ()() hxkxIΠ. (2) I 中存在次数最小的首项系数为 1 的多项式 () dx ，并且 ()((),()) dxfxgx= . 证明 (1) 容易证明，略. (2) 考虑{[] 0 (()()()())(),() IuxfxvxgxuxvxFx=¶+Î且} ()()()()0 uxfxvxgx+¹则 0 I 是非负整数的一个子集，由最小数原理， 0 I 中存在最小数，也就是说，I 中存在次数最小的首项系数为1的多项式： 11 ()()()()() dxuxfxvxgx=+设 () hx 是 I 中任意多项式，且 ()()()() hxdxqxrx=+，其中 ()0 rx=或者 (()) rx¶ (()) dx¶ . 若 (()) rx¶ (()) dx¶，则 ()()()() rxhxdxqx=- .由(1)可知 () rxIÎ，与 () dx 是I 中次数最小的多项式矛盾. 故 ()0 rx=，所以 ()() dxhx .显然 (),() fxgxIÎ，所以 ()() dxfx ， ()() dxgx . 如果 ()() pxfx ， ()() pxgx ，则 11 ()()()()() pxuxfxvxgx+即 ()() pxdx ，所以 ()((),()) dxfxgx= . 例 1.6（上海交通大学，2004）假设 1 () fx 与 2 () fx 为次数不超过 3 的首项系数为1的互异多项式，若 42343 12 1()() xxfxxfx+++，试求 1 () fx 与 2 () fx 的最大公因式. 解由于 42 1 xx++ = 22222 (1)(1)(1) xxxxxx+-=++-+设它的4个根分别为 1212 ,,,wwee其中 1212 13131313 ,,, 2222 iiiiwwee-+--+-====由于 42343 12 1()() xxfxxfx+++，就有 343 12 ()() fxxfx+ = 42 (1) xx++ () gx . 于是有下面的方程组 112 122 (1)(1)0 (1)(1)0 ff ffww+=ìí+=î与 112 122 (1)(1)0 (1)(1)0 ff ffee---=ìí---=î分别解这两个方程组得， 12 (1)(1)0 ff==， 12 (1)(1)0 ff-=-=于是有， 11 (1)(),(1)() xfxxfx+-， 22 (1)(),(1)() xfxxfx+- . 进而有 1 (1)(1)() xxfx+-， 2 (1)(1)() xxfx+- . 而 1 () fx ， 2 ,() fx 是互异的次数不超过 3 的首系数为 1 的多项式，所以 2 12 ((),())1 fxfxx=- . 例 1.7 （浙江大学，2006 年）设 P 为数域，() [] ii ffxpx=Î，() [],1,2 ii ggxpxi=Î= . 证明：()()() 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , , , , , g g f g g f f f g f g f=证明设()(), , , , 2 2 2 1 1 1 g f d g f d==有()()()()()()()() 12121212 12121212 1212 112 1122 ,,, ,,, , , ,,. fffggfgg fffggfgg fdgd fgd fgfg====例 1.8 （哈尔滨工业大学， 2005年）设()() x g x f , 都是实数R上的多项式， R aΠ(1) 证明：()()()()()(). | a g f x g f a g x g-- (2) 问()() a f x f a x-- 3 3 | 是否成立，为什么？解 (1) 令(), ygx=考虑多项式()()()() a g f y f y h-=由()()()()()() 0=-= a g f a g f a g h 可知()()() y h a g y |-即()()()()()() a g f x g f a g x g-- | . (2) 令 3 baR=Î，注意用到(1)的结论，将(1)中a的换成这里的b，将(1)的() gx 换成这里的 3 x ，可得()() 33 | xafxfa-- . 例 1.9（上海大学，2005）设 22 1231 1(1)()()()() nnnnnn n xxfxxfxxfxxfx--éù--++++ëûL（ 2 n³）求证： 1() i xfx- (1,2,,1) in=-L . 证明由题设易知 1222 1231 1()()()() nnnnnnn n xxxfxxfxxfxxfx----++++++++LL这里令e是n次本原单位根，那么 22 1231 22222 1231 11212 1231 (1)(1)(1)(1)0 (1)(1)()(1)()(1)0 (1)(1)()(1)()(1)0 n n n n nnnn n ffff ffff ffffeeeeeeeee---------ì++++=ï++++=ïíïï++++=îLLLLL于是关于 1231 (1),(1),(1),,(1) n ffff-L的齐次线性方程组的系数行列式为 22 22222 11212 1 1()() 0 1()() n n nnnneeeeeeeee------¹LLMMMML . 故齐次线性方程组只有零解，于是 121 (1)(1)(1)0 n fff-====L，所以 1() i xfx- (1,2,,1) in=-L . 例 1.10（哈尔滨工业大学，2006 年）已知()() x g x f , 是数域 P 上两个次数大于零的多项式，且存在()() 11 ,[], uxvxpxÎ使得()()()() 1 1 1=+ x g x v x f x u ，问是否存在()() ,[] uxvxpxÎ，使得()()()()()()()()()()()() x f x v x g x u x g x v x f x u¶¶¶¶=+ , , 1 . 如果存在，这样是唯一的吗？说明理由. 解由于()()() 11 ()1 uxfxvxgx+=，若() 1 ux 的次数大于() gx 的次数，则由带余除法得()()()() 1 uxgxqxux=+，()()()() uxgx¶¶代入上式得()()()()()()() 1 1 fxgxqxuxgxvx++=即()()()()()()() 1 1=++ x v x q x f x g x u x f 令()()()() 1 vxfxqxvx=+，则有()()()() x f x v¶¶否则由比较次数可知上式将不可能成立. 关于唯一性的证明，可以假设() 2 ux ，() 2 vx 也满足条件，那么有()()()()()()()() 1122 1 fxuxgxvxfxuxgxvx+=+=易得()()()()()()()() 1221 fxuxuxgxvxvx-=-由() fx 与() gx 互素，可知()()()() 12 | gxuxux- . 又由()()()()() 12 uxuxgx¶-¶，可得()() 12 0 uxux-=，即()() 12 uxux=，这时有()() 12 vxvx= . 例 1.11（华南理工大学，2005年）证明：如果()()() 1 ,= x g x f ，那么()()()()()()()()()() ,1 fxgxfxgxfxfxgxgx+++=证明由已知条件有()()()() ,1 fxfxgx+=，()()()() ,1 gxfxgx+=，由多项式互素的性质可得()()()()() ,1 fxgxfxgx+=于是有()()()()()()() ,1 fxgxfxgxfxgx++=()()()()()()() ,1 fxgxfxgxfxgx+++=综合上述两个