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行程问题基础教学目标1.行程的基本概念,会解一些简单的行程题.2.掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法:“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法”3.利用对比分析法解终(中)点问题知识点拨:一、s、v、t探源我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母,并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么,为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢?今天我们就一起了解一下。表示时间的t,这个字母t代表英文单词time,翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v,对应的单词同学们可能不太熟悉,这个单词是velocity,而不是我们常用来表示速度的speed。velocity表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词,一般来说应该是distance,但这个单词并不是以字母s开头的。关于为什么会用s来代表路程,有一个比较让人接受的说法,就是在行程问题的公式中,代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近,所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度。二、关于s、v、t三者的基本关系速度×时间=路程可简记为:s=vt路程÷速度=时间可简记为:t=s÷v路程÷时间=速度可简记为:v=s÷t三、平均速度平均速度的基本关系式为:平均速度总路程总时间;总时间总路程平均速度;总路程平均速度总时间。典型例题:模块一、简单行程公式解题【例1】韩雪的家距离学校480米,原计划7点40从家出发8点可到校,现在还是按原时间离开家,不过每分钟比原来多走16米,那么韩雪几点就可到校?【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟,速度为:4802024(米/分),现在每分钟比原来多走16米,即现在的速度为241640(米/分),那么现在上学所用的时间为:4804012(分钟),7点40分从家出发,12分钟后,即7点52分可到学校.【巩固】甲、乙两地相距100千米。下午3点,一辆马车从甲地出发前往乙地,每小时走10千米;晚上9点,一辆汽车从甲地出发驶向乙地,为了使汽车不比马车晚到达乙地,汽车每小时最少要行驶多少千米?.【解析】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时,在汽车出发时,马车已经走了9-3=6(小时)。依题意,汽车必须在10-6=4小时内到达乙地,其每小时最少要行驶100÷4=25(千米).【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地,货车每小时行60千米,15小时可到达。客车每小时行50千米,如果客车想与货车同时到达某地,它要比货车提前开出几小时?【解析】北京到某地的距离为:6015900(千米),客车到达某地需要的时间为:9005018(小时),18153(小时),所以客车要比货车提前开出3小时。【巩固】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行,甲车先行三小时后乙车从B地出发,乙车出发5小时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米,乙车每小时行50千米.求A、B两地间相距多少千米?【解析】在整个过程中,甲车行驶了3+5=8(小时),行驶的路程为:48×8=384(千米);乙车行驶了5小时,行驶的路程为:50×5=250(千米),此时两车还相距15千米,所以A、B两地间相距:384+250+15=649(千米).【巩固】一天,梨和桃约好在天安门见面,梨每小时走200千米,桃每小时走150千米,他们同时出发2小时后还相距500千米,则梨和桃之间的距离是多少千米?【解析】我们可以先求出2小时梨和桃走的路程:(200150)2700(千米),又因为还差500千米,所以梨和桃之间的距离:7005001200(千米).【巩固】两列火车从相距480千米的两城相向而行,甲列车每小时行40千米,乙列车每小时行42千米,5小时后,甲、乙两车还相距多少千米?【解析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程,就得到了两车还相距的路程:480(4042)548041070(千米).【巩固】小白从家骑车去学校,每小时15千米,用时2小时,回来以每小时10千米的速度行驶,需要多少时间?【解析】从家到学校的路程:15230(千米),回来的时间30103(小时).【例2】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【解析】法一:先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间:12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间:8÷4+12÷5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是:7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二:从整体上考虑,邮递员走了(12+8)千米的上坡路,走了(12+8)千米的下坡路,所以共用时间为:(12+8)÷4+(12+8)÷5+1=10(小时),邮递员是下午7+10-12=5(时)回到邮局的。【例3】一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数)【解析】火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了(1360÷340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度.1360÷(57+1360÷340)=1360÷61≈22(米)【例4】龟兔赛跑,同时出发,全程6990米,龟每分钟爬30米,兔每分钟跑330米,兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟,醒来后立即以原速往前跑,问龟和兔谁先到达终点?先到的比后到的快多少米?【解析】先算出兔子跑了330103300(米),乌龟跑了30215106750()(米),此时乌龟只余下69906750240(米),乌龟还需要240308(分钟)到达终点,兔子在这段时间内跑了83302640(米),所以兔子一共跑330026405940(米).所以乌龟先到,快了699059401050(米).【例5】甲、乙两地相距6720米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟?【解析】方法一:由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的,因此可以计算出这人步行的时间.而如果了解清楚各段的路程、时间与速度,题目结果也就自然地被计算出来了.应指出,如果前一半时间平均速度为每分钟80米,后一半时间平均速度为每分钟60米,则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米.这是因为一分钟80米,一分钟60米,两分钟一共140米,平均每分钟70米.而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同,所以平均速度始终是每分钟70米.这样,就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟.由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度,所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米.则前一个3360米用了3360÷80=42分钟;后一半路程所需时间为96-42=54分钟.方法二:设走一半路程时间是x分钟,则80x+60x=6720,解方程得:x=48分钟,因为80×48=3840(米),大于一半路程3360米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3360÷80=42(分钟),后一半路程时间是48+(48-42)=54(分钟).评注:首先,从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别.在时间相等的情况下,总的平均速度可以是各段平均速度的平均数.但在各段路程相等的情况下,这样做就是不正确的.其次,后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态,直接求所需时间并不容易.而前一半路程所需时间的计算是简单的.因此,在几种方法都可行的情况下,选择一种好的简单的方法.这种选择能力也是需要锻炼和培养的.【巩固】甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟?【解析】方法一:全程的平均速度是每分钟8070275()(米),走完全程的时间是60007580(分钟),走前一半路程速度一定是80米,时间是30008037.5(分钟),后一半路程时间是8037.542.5(分钟).方法二:设走一半路程时间是x分钟,则807061000xx,解得40x(分钟),因为80403200(米),大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是30008037.5(分钟),后一半路程时间是404037.542.5()(分钟).模块二、平均速度问题【例6】如图,从A到B是12千米下坡路,从B到C是8千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?DCBA【解析】从A到B的时间为:12÷6=2(小时),从B到C的时间为:8÷4=2(小时),从C到D的时间为:4÷2=2(小时),从A到D的总时间为:2+2+2=6(小时),总路程为:12+8+4=24(千米),那么从A到D的平均速度为:24÷6=4(千米/时).【巩固】如图,从A到B是6千米下坡路,从B到C是4千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少?DCBA【解析】从A到B的时间为:6÷6=1(小时),从B到C的时间为:4÷4=1(小时),从C到D的时间为:4÷2=2(小时),从A到D的总时间为:1+1+2=4(小时),总路程为:6+4+4=14(千米),那么从A到D的平均速度为:14÷4=3.5(千米/时)【巩固】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地,返回时每小时行驶45千米,求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.【解析】要求往返全程的平均速度是多少,必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米,“返”也行了90千米,所以摩托车的总路程是:90×2=180(千米),摩托车“往”的速度是每小时30千米,所用时间是:90÷30=3(小时),摩托车“返”的速度是每小时45千米,所用时间是:90÷45=2(小时),往返共用时间是:3+2=5(小时),由此可求出往返的平均速度,列式为:90×2÷(90÷30+90÷45)=180÷5=36(千米/小时)【巩固】甲乙两地相距200千米,小强去时的速度是10千米/小时,回来的速度是40千米/小时,求小强往返的平均速度.【解析】去时的时间2001020(小时),回来的时间200405(小时),平均速度总路程总时间20020020516()()(千米/小时).【巩固】一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去,前120千米的平均速度为40千米/时,要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米/时,剩下的路程应以什么速度行驶?【解析】求速度首先找相应的路程和时间,平均速度说明了总路程与总时间的关系,剩下的路程为:300-120=180(千米),计划总时间为:300÷50=6(小时),前120千米已用去120÷40=3(小时),所以剩下路程的速度为:(300-120)÷(6-3)=60(千米/时).【巩固】一个运动员进行爬山训练.从A地出发,上山路长30千米,每小时行3千米.爬到山顶后,沿原路下山,下山每小时行6千米.求这位运动员上山、下山的平均速度.【解析】这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数(上山速度+下山速度)2,而平均速度上、下山的总路程上、下山所用的时间和.所以上山时间:30310(小时),下山时间:3
本文标题:行程问题基础.题库教师版
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