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第二章概率§6正态分布正态分布在统计学中是很重要的分布。前面我们讨论了离散型随机变量,它们的取值是可以一一列举的.人们感兴趣的是其分布列;但在实际应用中,还有许多随机变量不可以一一列举而是取某一区间中的一切值(连续型随机变量),通常我们感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数(曲线)描述。某种产品的寿命(使用时间)是一个随机变量X,它可以取大于等于0的所有数值.怎样描述这样的随机变量的分布情况呢?设x表示产品的寿命(单位:h),如果我们对该产品有如下的了解:寿命小于500h的概率为0.71,寿命在500~800h之间的概率为0.22,寿命在800~1000h之间的概率为0.07,这样我们可以画出大致的图像(见教材)图像比较简单,例如它没有告诉我们寿命在200~400h之间的概率.如果我们想了解更多,图中的区间会分的更细,为了完全了解产品的寿命的分布情况,需要将区间无限细分,最总我们会得到一条曲线,这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线,这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数,记为f(x).有了X的分布密度曲线,则X取值于任何范围的概率都可以通过该曲线下相应部分的面积而算出.正态分布密度曲线(简称正态曲线)0YX22()21()2xfxe),(x“钟形”曲线正态分步的分布密度函数解析式为:称X的分布为正态分布.正态分布由参数、2唯一确定,、2分别表示正态分布的均值与方差.不同的、2对应着不同的正态密度曲线。一.正态分布定义xy0如果随机变量X服从正态分布,则记作:X~N(,2)。(EX=DX=2)22()21()2xfxe),(x函数的图像称为正态分布密度曲线,简称正态曲线。二、正态曲线的性质(1)函数图像关于直线x=μ对称.(2)函数在x=μ时,取得最大值(3)具有两头低、中间高、左右对称的基本特征(3)σ=0.5σ=1σ=2μ一定Ox正态曲线的性质σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.正态曲线下的面积规律(重要)1、X轴与正态曲线所夹面积恒等于1概率2、对称区域面积相等S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)X=()68.3,(22)95.4,(33)99.7.PXPXPX%%%特别地有(熟记)我们从上图看到,正态总体在以外取值的概率只有4.6%,在以外取值的概率只有0.3%。2,23,3由于这些概率值很小(一般不超过5%),通常称这些情况发生为小概率事件。当3a时正态总体的X取值几乎总取值于区间(3,3)之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3原则.()68.3,(22)95.4,(33)99.7.PXPXPX%%%例1.某设备正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为:为了检查设备运行是否正常,质量检验员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为504g,他立即要求停止生产,检查设备.他的决定是否有道理呢?500g,21解如果设备正常运行,产品质量服从正态分布.根据题意和正态分布的性质可知,产品质量在500-3=497g和500+3=503g之间的概率为0.997,而质量超过这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是检查员抽出了504g的产品,说明设备的运行极可能不正常,所以检验员的决定是有道理的.例2:在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X~N(90,100).(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?练习2.设两个正态分布N(μ1,)(σ10)和N(μ2,)(σ20)的密度函数图象如图所示,则有()A.μ1μ2,σ1σ2B.μ1μ2,σ1σ2C.μ1μ2,σ1σ2D.μ1μ2,σ1σ2解析由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态密度函数图象的对称轴,故μ1μ2.又σ越小,图象越高瘦,故σ1σ2.2122A2、已知X~N(0,1),则X在区间内取值的概率A、0.9544B、0.0456C、0.9772D、0.0228(,2)3、设离散型随机变量X~N(0,1),则=,=.(0)PX(22)PXD0.50.9544、若已知正态总体落在区间的概率为0.5,则相应的正态曲线在x=时达到最高点。(0.3,)0.35、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望是。1归纳小结3正态曲线的性质(1)曲线关于直线x=μ对称.(2)曲线在x=μ时位于最高点.(3)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.1正态分布函数解析式:2正态曲线22()21()2xfxe
本文标题:正态分布(北师大版选修2-3)
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