数值分析习题与答案

第一章绪论习题一1.设x0,x*的相对误差为δ，求f(x)=lnx的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。5.计算取，利用：式计算误差最小。四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差与导数关系于是4.若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝，于是9.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列。解：因10.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11.填空题(1)满足条件的插值多项式p(x)=().(2),则f［1,2,3,4］=()，f［1,2,3,4,5］=().(3)设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝()，＝().(4)设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝()，＝()答：（1）（2）（3）（4）第4章数值积分与数值微分习题41.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，积分2.用Simpson公式求积分，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估计误差，因，故3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出得而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。4.计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?解：由Simpson公式余项及得即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5.用Romberg求积算法求积分，取解：本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结果如下表所示。于是积分，积分准确值为0.7132726．用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为，所以先做变换于是本题精确值7．用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算即于是，因n=2,即为三点公式，于是，即故8.试确定常数A，B，C，及α，使求积公式有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。故可令，得（5）由（3）（5）解得，代入（1）得则有求积公式令公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。第五章解线性方程组的直接法习题五1.用Gauss消去法求解下列方程组.解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。故2.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值解：先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得3.用Doolittle分解法求的解.解：由矩阵乘法得再由求得由解得4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?解：A中，若A能分解，一步分解后，，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。5.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得6.用平方根法解方程组解：用分解直接算得由及求得7.设，证明解：即，另一方面故8．设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数解：故9．设为上任一种范数，是非奇异的，定义，证明证明：根据矩阵算子定义和定义，得令，因P非奇异，故x与y为一对一，于是10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即解：记则的解，而的解故而由（3.12）的误差估计得表明估计略大，是符合实际的。11.是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中（1）若A对称正定,,则是上的一种向量范数（）（2）定义是一种范数矩阵（）（3）定义是一种范数矩阵（）（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（）（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵（）（7）对任何都有（）（8）若A为正交矩阵，则（）答案：（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵解：由于而故2.方程组(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止解：因为具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法计算公式为取3.设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为其迭代矩阵，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为其迭代矩阵，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。4.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?解：Jacobi法的迭代矩阵是即，故，J法收敛、GS法的迭代矩阵为故，解此方程组的GS法不收敛。5.设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为，故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为由得GS法收敛得充要条件是6.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为取，当时，迭代5次达到要求若取，迭代6次得7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩阵为，故，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度由于，故若要求，于是迭代次数对于J法，取K＝15对于GS法，取K＝8对于SOR法，取K＝58.填空题(1)要使应满足（）.(2)已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.(3)设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.(4)用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.(5)给定方程组,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.答:(1)(2)J法是收敛的，(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵(4)满足(5)满足第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。其误差2.求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1)，迭代公式.(2),迭代公式.(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根解：（1）取区间且，在且，在中，则L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。（3），在附近，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则3.设方程的迭代法(1)证明对,均有,其中为方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论解：（1）迭代函数，对有，（2）取，则有各次迭代值取，其误差不超过（3）故此迭代为线性收敛4.给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，。令，则，由递推有，即5.用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到解:在(2)中,令,,则有令,得,与第2题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.对(3)有,原迭代不收敛.现令令6.用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.(1)在=2附近的根.(2)在=1附近的根解：（1）Newton迭代法取，则，取（2）令，则，取7.应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.解：方程的根为，用Newton迭代法此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设，对一般的，当时有这是因为当时成立。从而，即，表明序列单调递减。故对，迭代序列收敛于