中考数学压轴题精选(二)及答案

★★11、（2010德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当t=25时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）xxy42（2）①点P不在直线ME上；②依题意可知：P（t,t），N（t，tt42）当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：PNCPCDSSS=ODCD21+BCPN21=2321+24212ttt=332tt=421)23(2t∵抛物线的开口方向：向下，∴当t=23，且0＜t＜32＜3时，最大S=421当03或t时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，ABCDSS矩形21=3221=3图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值421．★★12、（2010德州）已知二次函数cbxaxy2的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．解：（1）∵二次函数cbxaxy2的图象经过点C(0，-3)，∴c=-3．将点A(3，0)，B(2，-3)代入cbxaxy2得.32433390baba，解得：a=1，b=-2．∴322xxy．xyOABCPQMN第23题图COABDNMPxyRH配方得：412）（xy，所以对称轴为x=1．(2)由题意可知：BP=OQ=0.1t．∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=BPNABPQS-S四边形，=BPNABFGS-S四边形．由ABFGS四边形FGAGBF)(21=29．tFGBPSBPN4032121．∴S=t40329．又BC=2，OA=3，∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．∴0t≤20．∴当t=20秒时，面积S有最小值3．★★13、（2010东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：（1）C的坐标为▲；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。解：（1）Ｃ（４，１）；（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）（3）Ｓ＝－12ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝12ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝413，Ｓ＝3239当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝29，Ｓ＝89当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝31，Ｓ＝1811★★14、（2010恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.解：（1）将B、C两点的坐标代入得303ccb解得：32cb所以二次函数的表达式为：322xxy（2）存在点P，使四边形POP/C为菱形．设P点坐标为（x，322xx），PP/交CO于E，若四边形POP/C是菱形，则有PC＝PO．连结PP/则PE⊥CO于E，∴OE=EC=23∴y=23．∴322xx=23解得1x=2102，2x=2102（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（2102，23）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，322xx），易得，直线BC的解析式为3xy，则Q点的坐标为（x，x－3）.EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC212121四边形3)3(2134212xx=87523232x当23x时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为415,23，四边形ABPC的面积875的最大值为．★★15、（2010广安）如图，直线y=-x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1,0)、B(3,-4)．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．解：（1）由题知443904baba，解得a=1,b=-3，∴抛物线解析式为y=x2-3x-4（2）设点P坐标(m,-m-1)，则E点坐标(m,m2-3m-4)∴线段PE的长度为：-m-1-(m2-3m-4)=-m2+2m+3=-(m-1)2+4∴由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。（3）由（2）知P(1,-2)①过P作PC的垂线与x轴交于F，与抛物线交于Q，设AC与y轴交于G，则G(0,-1)，OG=1，又可知A(-1,0)则OA=1，∴△OAG是等腰直角三角形，∴∠OAG=45o∴△PAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3,0)设直线PF的解析式为y=k1x+b1，则2031111bkbk，解之得k1=1,b1=-3，∴直线PF为y=x-3由4332xxyxy解得155211yx155222yx∴Q1(2+5,5-1)Q2(2-5,-5-1)②过点C作PC的垂线与x轴交于H，与抛物线交点为Q，由∠HAC=45o，知△ACH是等腰直角三角形，由对称性知H坐标为(7,0)，设直线CH的解析式为y=k2x+b2，则43072222bkbk，解之得k2=1,b2=-7，∴直线CH的解析式为y=x-7解方程组4372xxyxy得6111yx4322yx当Q(3,-4)时，Q与C重合，△PQC不存在，所以Q点坐标为(1,-6)综上所述在抛物线上存在点Q1(2+5,5-1)、Q2(2-5,-5-1)、Q3(1,-6)使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。★★16、（2010广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是»AB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；为S，若2SDE＝43，求△ABC的（3）记△ABC的面积周长.解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．CPDOBAE∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝12OP＝12，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝22OAOF＝2211()2＝32，∴AB＝2AF＝3．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝12∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴ABDACDBCDSSSS＝12AB•DE＋12BC•DH＋12AC•DG＝12(AB＋BC＋AC)•DE＝12l•DE．∵2SDE＝43，∴212lDEDE＝43，∴l＝83DE.∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝12∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝tan30DG＝33DE＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝13，∴△ABC的周长为833．FCPDOBAEHG★★17、（2010广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝32若直线经过点B（3，1）时，则b＝52若直线经过点C（0，1）时，则b＝1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图25-a，此时E（2b，0）∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2图1DExyCBAOCDBAEOxy此时E（3，32b），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)·(52b)＋12×3(32b)]＝252bb∴2312535222bbSbbb（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝12，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM