应力分析和强度理论

应力分析和强度理论ChapterTwelveAnalysisofStressandTheoryofStrength12.1双向应力状态分析12.2广义Hooke定律本章基本要求本章内容小结12.3强度理论12.4组合变形背景材料综合训练背景材料为什么圆轴扭转时铸铁沿45o螺旋面断裂，而低碳钢沿横截面断裂？铸铁和低碳钢扭转实验试件断口木材制成的圆轴的轴线方向沿顺纹方向，它在扭转时的破坏情况是怎样的？为什么会这样破坏？为什么具有光滑表面的低碳钢试件在拉伸时有滑移线产生？滑移线产生的方位有什么规律？FaaABdCaDK已知K点的应变，如何校核该杆的强度？塔体具有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在何处？如何计算其应力？xyzF2F1LaABd对发生组合变形的杆件如何进行强度计算？掌握主应力、主方向的概念，能熟练进行主应力计算，能正确分析组合变形中危险点的主应力。全面准确地掌握应力概念，掌握斜截面上正应力和切应力的计算公式。本章基本要求能正确理解并熟练应用广义Hooke定律。了解强度理论的意义，掌握几种主要的强度理论的定义，熟悉相应的相当应力。熟炼掌握弯扭组合变形的相当应力和组合变形强度计算。实验目的通过微圆的变形推测应变的特征，并由此推测应力的特征。微圆的变化的共同趋势是什么？理想实验微圆的变化包含了哪些因素？最大正应变与最小正应变的方位有什么关系？微圆的变化包含了哪些因素？什么方位上切应变最大？存在着最大正应变和最小正应变的方向，这两个方向相互垂直。称这两个方向为应变主方向。主方向上的切应变为零。结论存在着最大的切应变，其方位与主方向相差45°。存在着最大正应力和最小正应力的方向，这两个方向相互垂直。称这两个方向为应力主方向。主方向上的切应力为零。存在着最大的切应力，其方位与主方向相差45°。dAndAndFdAndAdFndAdF12.1双向应力状态分析12.1.1应力状态(stressstate)应力矢量(stressvector)AFAΔΔlim0Δp切应力正应力1.单元体(element)pnpn只考虑相互垂直的微元面。将该点“扩大”为一个单元体。12.1双向应力状态分析过某点所有微元面上应力矢量的集合称为该点处的应力状态。应力矢量不仅与所考虑的点的位置有关，而且与过该点微元面的方位有关。如何掌握某个指定点的应力状态？1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析只考虑相互垂直的微元面。将该点“扩大”为一个单元体。应力矢量不仅与所考虑的点的位置有关，而且与过该点微元面的方位有关。过某点所有微元面上应力矢量的集合称为该点处的应力状态。如何掌握某个指定点的应力状态？1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析把相互垂直的三个面的正面上和反面上的应力分别表示在单元体的六个面上。1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析注意单元体表达的是某指定点处的应力状态，因此单元体是没有长度和高度的。1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析注意单元体一对表面上的应力分量总是大小相等而方向相反的。1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)2.双向应力状态PF双向应力状态单向应力状态(two-dimensionalstressstate)(one-dimensionalstressstate)注意单元体的一对侧面一般应取在沿着横截面的方位上。xxyxxyxxyxxyyyxxxyxxyyyxxyxyyx3.应力分量的表示及符号规定应力分量的表示xy切应力互等定理yxxy应力分量的脚标记号是根据坐标系确定的。yyxxyxT应力状态矩阵应力状态矩阵是对称矩阵。(stressstatematrix)3.应力分量的表示及符号规定单元体的正向面单元体的负向面法线方向与坐标轴正向相同的面法线方向与坐标轴正向相反的面xy符号规定在正向面上，与坐标正向相同的应力分量为正；与坐标正向相反的应力分量为负。在负向面上，与坐标正向相反的应力分量为正；与坐标正向相同的应力分量为负。xy拉应力为正，压应力为负。3.应力分量的表示及符号规定符号规定nx12.1.2斜截面上的应力当一个双向应力状态已知时，如何求一个斜截面上的应力矢量及其法向分量和切向分量？双向应力状态中，斜截面的倾斜程度，以其法线方向与x轴的夹角为表征。从x轴正向算起，逆时针转向为正。斜截面上正应力和切应力的正向规定如图。nxxynxyn/2xynt/2xynt/2nananaanxnyxny单位矢量n矢量a在n方向上的投影与n垂直方向上的单位矢量tsincosyxyxnnaa)(cossinxynn数学工具箱naTyxnnnyxtttsincosyxaanaAxyAnAnAsinAcosxyxAnAsinAcosyyxxyxAnAsinAcosyyxxyxAnpAsinAcosyyxxyxAnpPxAsinAcosPyyyxxyxAnpPxAsinAcosPyyyxxyxAnpPxAsinAcosPyyyxxyxAnpAsinAcos斜截面上的应力公式考虑斜面面积为A的微元楔形体x方向上力的平衡AnAnApyyxxxxΔΔΔy方向上力的平衡AnAnApyyxxyyΔΔΔyyxyxyyxyxxxnnpnnpyyxxyxyxyxnnpp)()(矩阵表达式TnpTTsincosyxnnntTntpTTtTntpTTtTntpTTTnnnpTTTnnnpTTTnnnpTTyyxxyxAnpAsinAcosyyxxyxAnpAsinAcosyyxxyxAnpAsinAcosyyxxyxAnpAsinAcos斜截面上的应力公式正应力分量切应力分量sincos)sincos(yyxxyxcossin)sincos(yyxxyxsin221sincoscos2121sincos2121cos22数学工具箱TnpTTyyxxyxAnpAsinAcos斜截面上的应力公式正应力分量切应力分量TnpTTTnnnpTTtTntpTTsin2cos2)(21)(21xyyxyxcos2sin2)(21xyyxsincos)sincos(yyxxyxcossin)sincos(yyxxyxnnnn例求承受轴向拉伸杆斜截面上的正应力和切应力。应力状态矩阵斜截面上的正应力斜截面上的切应力PPnP000APT000cos22121)cos21(2APsin221sin22APsin2cos22121xyyxyx)()(cos2sin221xyyx)(切应力实际方向md例求圆轴扭转时微元斜截面上的正应力和切应力。应力状态矩阵横截面上的切应力微元斜截面上的切应力微元斜截面上的正应力PWm3π16dm00Tcos22121)()(yxyxsin2xysin2cos2sin221xyyx)(cos2md例求圆轴扭转时微元斜截面上的正应力和切应力。微元斜截面上的切应力微元斜截面上的正应力sin2cos2分析和讨论为多少度时拉应力为最大？为多少度时压应力为最大？当拉应力为最大时切应力为多少？当压应力为最大时切应力为多少？hhhhh动脑又动笔某个双向应力状态，求任意斜截面上的正应力和切应力。0,xyyx0静水压力cos2sin221xyyx)(ghghT00sin2cos22121xyyxyx)()()(21yx1555455/615455/6xy5515455/6xy/355n例求图中标明方向的切应力。154545xT3π553π32πsin32πcos21213πxyyxyx)()(119.x32πcos32πsin213πxyyx)(3243π.3243π.1555/3455/6注意在本章中未标出单位的应力数值，其单位均为MPa。斜截面法线方向应力状态矩阵建立如图的坐标系在指定的某个点上，考察哪一个方位微元面上的应力？12.1.3主应力与主方向杆件应力考察的三个层次在杆件的各个横截面中，考察哪一个横截面？在指定的某个横截面中，考察哪一个点？xxyynpnpnp在什么方位上（是多大时），正应力取得极值？该极值为多大？在正应力取极值时，相应微元面上切应力为多大？cos2)(21)(21yxyx在某个指定点处，斜截面上的正应力由所确定。sin2xynpcos2)(21)(21yxyxsin2xy为什么要研究最大正应力？以前所计算的在杆件横截面上的最大弯曲正应力不一定是危险点处真正的最大正应力。脆性材料tSScS某些材料（例如脆性材料）抗拉能力比较弱。1.法向应力的极值使法向应力取极值的角度应满足sin2cos2)(21)(21xyyxyx0dd0)cos22()sin22()(21xyyxcos22sin2yxxyyxxy2tan2222)(21xyyxyxji2y022y022y022y022y02法向应力的极值称为主应力(principalstress)。使法向应力取极值的微元面称为主平面(principalplane)。主平面的法线方向称为主方向(principaldirection)。yxxy2tan2yxxy2arctan21π2arctan22yxxyyxxy2arctan2112π2arctan212yxxy2y02xyxy重要结论一定存在着相互正交的主方向。以主方向为坐标轴方向的坐标系称为主轴坐标系。xy1xy主方向1xy主方向主方向12xy12xyyxxy2arctan2112π2arctan212yxxy主方向和主应力的计算方法1)只求主应力时，可直接利用公式222)(21xyyxyxji求出两个主方向1和2；即可求出相