苏科版八年级下册第九章-中心对称图形章节知识点§9.1-9.5

§9.1图形的旋转【知识点总结】1、生活中的旋转例1：下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2、旋转的概念将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置。例2：如图所示，ΔABC绕顶点C顺时针方向旋转某一角度后，得到ΔA′B′C′。请回答下列问题：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角是哪个角？（3）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？（4）找出图形中所有相等的角和线段。3、旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。例3：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．4、画旋转后的图形利用图形的旋转的性质，可以画出一个图形绕某点按照一定的方向旋转一定角度后的图形。基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。例4：如图，O为ΔABC外的一点，求作：ΔABC绕点O按顺时针方向旋转60°后所得的ΔA′B′C′。例2图【典例展示】题型一确定图形的旋转角度例1：如图所示，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A.30°B.45°C.90°D.135°题型二确定图形的旋转中心例2：如图，O为正方形ABCD的边CD的中点，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共个。题型三生活中的数学问题例3：如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）A.B.C.D.题型四推理说明题例4：将两块大小相同的含30°角的直角三角尺（∠BAC=∠B′A′C′=30°）按如图①所示的方式放置，固定三角尺A′B′C′，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．（1）求证：△BCE≌△B′CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．题型五有关旋转的做图题例5：在方格纸上按下列要求作图（如图①），不用写作法：（1）做出“小旗子”向右平移6格后的图案；（2）做出“小旗子”绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案。题型六探究性问题例6：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°α60°），将线段BC绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BD。（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．.O【误区警示】误点1不能抓住图形旋转的基本要素，导致错误例1：如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图形的阴影部分）绕中心O至少经过次旋转而得到，每一次旋转°误点2不能灵活运用图形旋转的性质，导致错误例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC饶点C按顺时针旋转后得到ΔEDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．§9.2中心对称与中心对称图形【知识点总结】1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。例1：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是关于点O成中心对称的两个图形，试找出它们的对应顶点和对应边。2、中心对称的性质一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。例2:如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是成中心对称的两个图形，试找出它们的对称中心。3、中心对称图形的定义及其性质把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。例3：任意一条线段是中心对称图形吗？如果是，那么它的对称中心是什么？4、轴对称图形与中心对称图形的对比轴对称图形中心对称图形图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合图形绕对称中心旋转180°重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点的连线经过对称中心，且别对称中心平分例4：下列图形图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B．C．D．5、成中心对称图形的画法例5：如图所示，O为△ABC外一点，求做：△A′B′C′。使它与△ABC关于点O成中心对称。例2图例5图【典例展示】题型一识别中心对称图形例1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B．C．D．题型二游戏中的数学问题例2：已知如图①所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的图②，则旋转的牌是（）A．B．C．D．题型三方案设计题例3：如图①，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．题型四推理说明题例4：如图，直线21ll，垂足为O，点A1与点A关于直线1l对称，、点A2与点A关于直线2l对称，点A1与点A2有怎样的对称关系？请说明理由。题型五操作探究题例5：如图，在网格中有一个四边形图案（1）请你画出此图案绕点O按顺时针方向旋转90°、180°、270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置画错。（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积．（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．【误区警示】误点1不能正确识别中心对称图形，导致错误例1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B．C．D．误点2不能运用中心对称图形的性质将问题进行转化，导致错误例2：如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，OA与OC关于点O中心对称，则AB、BC、CO、OA所围成的面积是cm0．§9.3平行四边形【知识点总结】1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形例1:如图，在□ABCD中EF∥AD，MN∥AB，MN与EF交于点P，且点P在BD上。图形中除了□ABCD外，还有个平行四边形。2、平行四边形的性质平行四边形的性质：（10平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。例2：在□ABCD中，(1)如果∠A=60°，那么∠B=°，∠C=°。（2）如果□ABCD的周长为32cm，且AB=5cm,那么BC=cm，CD=cm，AD=cm；（3）对角线AC、BD相交于点O，且AC=4cm、BD=6cm，则AO==cm，，BO==cm.3、判定平行四边形的条件（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形例3：如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，AB∥CD，AO=CO，求证：四边形ABCD是平行四边形。4、平行四边形的画法例4：如图，已知线段a、b和α，求作：□ABCD，使AB=a，BC=b，∠ABC=α。5、反证法反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。例5：如图，点E、F分别在ΔABC的边AB、AC上，求证：BF、CE不能互相平分。例1图例3图【典例展示】题型一运用性质进行求值例1：如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为题型二与平行四边形判定相关的判断说理问题例2：如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．题型三生活中的数学问题例3：如图是小飞家的一个四边形池塘，在池塘的四个角上分别栽着一个大桃树，现在要把池塘扩大建成鱼塘，使池塘的面积增加一倍又不想移动大桃树的位置，并要求扩建后的鱼塘为一个平行四边形。请问小飞家能实现这个梦想吗？如能，请你设计并画出图形，如不能，请说明理由。题型四开放性问题例4：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是题型五体现数学思想的题型例5：如图在□四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC+BD=18,BC=6,则ΔAOD的周长为例6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,ADBC,BC=6cm，点P、Q分别以A、C点同时出发，P以1cm/s的速度由点A向点D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒．则当x=时，四边形ABQP是平行四边形．题型六探索性问题例7：在ΔABC中，AB=AC，点D在边BC边所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．例1图例3图（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF=．【误区警示】误点1不能正确把握平行四边形的条件，导致错误例1：在四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO；④AB∥CD,AD=BC，其中，一定能判定四边形是平行四边形的条件有（）A.1组B.2组C.3组D.4组误点2不能正确应用反证法，导致错误例2：用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”的第一步假设（）A.三角形中有一个角小于60°B.三角形中没有一个内角大于60°C.三角形中每一个内角都大于60°D.三角形中没有一个内角等于60°§9.4矩形、菱形、正方形【知识点总结】1、矩形的概念和性质有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。例1：如图，在矩形ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE=CF，连接AF、DE交于点O，求证：（1）ΔABF≌ΔDCE（2）ΔAOD是等腰三角形2、判定矩形的条件（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形例2：如图，P为□ABCD的边CD的中点，且PA=PB，求证：四边形ABCD为矩形。3、平行线之间的距离及其性质如图9.4-1，直线a∥b，P为直线a上的任意一点，PQ⊥b，垂足为Q，则线段PQ的长度称为平行线a、b之间的距离性质：两条平行线之间的距离处处相等例3：（1）如图，直线a∥b，A、B为