数值分析实验---复化求积公式(改进版)

华中科技大学数值分析实验报告专业班级水利水电工程1201班学号M201273331姓名裴翔羽指导老师路志宏2013年4月15号1实验4.1实验目的:复化求积公式计算定积分实验题目:数值计算下列各式右端定积分的近似值3122201220111(1)ln2ln32d(2)4d112(3)3d(4)dln3xxxxxxxexex实验要求:(1)若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre型公式做计算，要求绝对误差限为71102，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计。(2)分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre型公式作计算。(3)将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。2解:一、复化求积公式基本介绍1.复化梯形求积公式1111100n(,0,1,2,n),()[,](0,1,2,n1)()[()()],2()()[()()]()2kkkbkkannbxkknaxkkbaxakhhknbaxxkfxdxfafbhIfxdxfxdxfxfxRf将区间[a,b]划分为等分，分点…，在每个子区间…，上采用梯形式则得记111013''=[()()]=[()2()()]2211()()()[()()]()(a)2212nnnkkkkkbahhTfxfxfafxfbbaRffxdxbafafbfb称上式为复化梯形公式，其余项可由式[]=得31''1012''''''01010''''()=-=[()],[,]121()[,],()()()(,),1()=(nnnkkkkknkkkknknkkhRfITffxCabfffnabffnxx由于且minmax所以使102'')()()=-()12nknbaRfhf于是复化梯形公式余项为2.复化Simpson求积公式11121112100n,()()1[()4()()],622()()[()4()()]()6kkbkkakknnbxkkknaxkkSimpsonfxdxbaabfaffbxhIfxdxfxdxfxfxfxRf将区间[a,b]划分为等分，在每个子区间[xx]上采用式若记=xh,则得记111211200S=[()4()()]=[()4()2()()]66nnnkkkkkkkhhfxfxfxfafxfxfbSimpson称上式为复化求积公式，其余项可由式35(4)14(4)104()()(a)2880()=-S=-()(),[,]1802()[,]nnnkkkkkbaRffbhhRfIffxCab[]=得xx于是当时，与复化梯形公式相似有4(4)()=-S=-()(),(,)1802nnbahRfIfab3.复化Gauss-LegendreI型求积公式1111111n(0,1,2,),Gauss-Legendre()+-+-11()[(-)+(+)],6222233kkkkkkkkkkkkkkkbaxakhknhnfxdxffxx将区间[a,b]划分为等分，分点为…,;，在每个子区间[xx]上采用2点求积公式xxxxxxxxxx在[a,b]区间上的复化积分公式为1110224()[()+()]22323Gauss-LegendreI()[,]Gauss-LegendreInbakkknhhhfxdxfxfxbafxCabhnR上式称为复化型求积公式。于是当，时，复化型求积公式的余项表达式为4(4)()()=(),[,]4320bahffab二、复化求积公式求解过程1.利用余项对所要求的每种算法做出步长的事前估计3122201220111(1)ln2ln32d(2)4d112(3)3d(4)dln3xxxxxxxexex根据题意：令22-241211334xxffxxffxe43221(1)ln2ln32d1xx因为2(2)23-4(31)1(1)xfx(4)5524241()(1)(1)fxx所以(2)(2)252max1=127xff(4)(4)25808max1=1243xff又因为题目要求绝对误差限为71102，所以对于复化梯形求积公式有22''-7()(32)521()-()=101212272nbahRfhf所以1791.6n因此取节点数n=1792步长11792bahn对于复化Simpson求积公式有44(4)-74(32)58081()-()()=10180218022432nbahhRff所以20.1n因此取节点数n=21步长121bahn对于复化Gauss-Legendre型求积公式有544(4)-7()(32)58081()()=10432043202432nbahhRff所以18.2n因此取节点数n=19步长119bahn1201(2)4d1xx因为2(2)238(31)2(1)xfx42(4)596(5101)2(1)xxfx所以(2)(2)0max2=28xff(4)(4)0max(2)296xff又因为题目要求绝对误差限为71102，所以对于复化梯形求积公式有22''-7()(10)1()-()8=1012122nbahRfhf所以3651.5n因此取节点数n=3652步长13652bahn对于复化Simpson求积公式有644(4)-74(10)1()-()()96=10180218022nbahhRff所以28.57n因此取节点数n=29步长129bahn对于复化Gauss-Legendre型求积公式有44(4)-7()(10)1()()96=10432043202nbahhRff所以25.8n因此取节点数n=26步长126bahn102(3)3dln3xx因为(2)233(ln3)xf(4)433(ln3)xf所以(2)(2)21max(3)33(ln3)xff(4)(4)41max(3)33(ln3)xff又因为题目要求绝对误差限为71102，所以对于复化梯形求积公式有22''2-7()(10)1()-()3(ln3)=1012122nbahRfhf7所以2456.57n因此取节点数n=2457步长12457bahn对于复化Simpson求积公式有44(4)4-74(10)1()-()()3(ln3)=10180218022nbahhRff所以-217.5810bahnn13.19n因此取节点数n=14步长114bahn对于复化Gauss-Legendre型求积公式有44(4)4-744()(10)1()()3(ln3)=10227027022nbahhRff所以11.93n因此取节点数n=12步长112bahn221(4)dxexex8因为(2)42xxfexe(4)44xxfexe所以(2)(2)22max(4)44xffe(4)(4)22max(4)46xffe又因为题目要求绝对误差限为71102，所以对于复化梯形求积公式有22''2-7()(10)1()-()4=1012122nbahRfhfe所以-411.424810bahnn7018.53n因此取节点数n=7019步长17019bahn对于复化Simpson求积公式有44(4)2-74(10)1()-()()6=10180218022nbahhRffe所以-214.245310bahnn23.56n因此取节点数n=24步长124bahn9对于复化Gauss-Legendre型求积公式有44(4)2-744()(10)1()()6=10227027022nbahhRffe所以21.3n因此取节点数n=22步长122bahn综上所述，用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre型公式做计算，绝对误差限为71102，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计如下表：求积类型函数复化梯形求积公式复化Simpson求积公式复化Gauss-Legendre型求积公式3221ln2ln32d1xx1179212111912014d1xx136521291261023dln3xx12457114112221dxexex17019124122表一：用上述复化求积公式所得步长值2.利用求积公式进行计算利用上述求积公式进行计算结果如下表：10求积类型函数复化梯形求积公式复化Simpson求积公式复化Gauss-Legendre型求积公式3221ln2ln32d1xx-0.405465126309431-0.405465118046333-0.40546509822512512014d1xx3.1415926410933283.1415926535887503.1415926537374521023dln3xx1.8204784835844081.8204784772187691.820478423657262221dxexex7.3890561272302217.3890561262147077.389056073169591表二：用上述复化求积公式估计步长所得到的结果3.将计算结果与精确解做比较,并比较各种算法的计算量利用上述求积公式进行计算后的精度分析如下表：求积类型函数复化梯形求积公式复化Simpson求积公式复化Gauss-Legendre型求积公式3221ln2ln32d1xx1.820126660501131e-89.938168621381749e-9-9.883039109315206e-912014d1xx1.249646475187660e-81.043165553937797e-12-1.476587740967261e-10111023dln3xx-3.03307332583102e-8-2.396509368729483e-82.959641309807637e-08221dxexex-2.82995706868405e-8-2.728405679164325e-82.576105906371140e-08表三：用上述复化求积公式估计步长所得到的精度误差（注：误差(error)=左边（真值）-右边（积分结果））由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在绝对误差限71102内，精度满足要求。由各种算法的步长可知，复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre型公式在相同精度的情况下，其节点数依次减少，相应地，步长依次增大，计算量则依次递减。三、心得体会在利用计算机进行复化求积过程中，我发现了一个现象：在求解3221ln2ln32d1xx时，当我把节点数设定为事前估计的1792时，所得精度满足题目要求。出于好奇心，我把节点数减少1，想看看会发生什么情况，结果发现，所得结果依然满足要求，接着，我就把节点数减少2，10，100，500……直到节点数减少到1081时，所得结果才不满足题目要求，此时的误差为5.00179863083