函数的极值与函数图像PPT

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数巩固：定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)0,得x0或x1，则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)0,得0x1,f(x)单减区(0,1).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,2:其次区间不能用(U)连接（第一步）解：（第二步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0极值x2xXx2x2Xx2f(x)f(x)xXx1x1Xx1f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况小结因为所以例1求函数的极值.4431)(3xxxf解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x.2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增3/283/4所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.变式求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x)+单调递增单调递减–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f)(xf求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.)(xf求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0312)()3(2xxf令解得.2,221xx所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.,033)()4(2xxf令解得.1,121xx所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.•例3已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，•(1)试求常数a、b、c的值；•(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．•[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.•又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x－1或x1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.•[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．变式：设a0，(1)证明f(x)＝ax＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a和b的值．[解析](1)证明：f′(x)＝a(1＋x2)－2x(ax＋b)(1＋x2)2＝－ax2－2bx＋a(1＋x2)2，令f′(x)＝0，即ax2＋2bx－a＝0.①∵Δ＝4b2＋4a20，∴方程①有两个不相等的实根，记为x1、x2.不妨设x1x2，则有f′(x)＝－ax2－2bx＋a(1＋x2)2＝0，即－a(x－x1)(x－x2)＝0.f′(x)、f(x)的变化情况如下表：由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有1个．(2)解：由(1)可知f(x1)＝ax1＋b1＋x21＝－1，f(x2)＝ax2＋b1＋x22＝1⇒－x21－1＝ax1＋b且1＋x22＝ax2＋b，两式相加，得x22－x21＝a(x1＋x2)＋2b.又x1＋x2＝－2ba，代入上式，得x22－x21＝a－2ba＋2b＝0，∴x22－x21＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.•而x1x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.•代入①式，得a(x2－1)＝0.•∵a0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.•∴a＝2，b＝0.注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①f(x0)=0,则f(x0)必为极值；②f(x)=在x=0处取极大值0，③函数的极小值一定小于极大值④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。⑤函数的极值即为最值3x1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,0已知函数解得a6或a3练习1：求在时极值。44xx31y3),0(x练习2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与x=-1处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.练习3：已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值练习4：设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.小结：1个定义:极值定义2个关键：①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0。②极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况