3.正弦定理、余弦定理和射影定理

1正弦定理、余弦定理和射影定理山东师范大学附属中学孙宁250014一．三个定理的独立证明1.正弦定理:在三角形ABC中，CcBbAasinsinsin==证法一：作出三角形ABC的外接圆作直径CD，连BD,则ACDBCBD∠=∠=∠,900在直角三角形BCD中，()是外接圆半径即RARaCDBCDBCsin2,sin=∠=所以，RAa2sin=同理可证：RCcRBb2sin,2sin==所以：RCcBbAa2sinsinsin===证法二：利用向量进行证明，在三角形ABC中BCABAC=−,设BC的单位法向量为j则JBCjABjAC=−=jABABjAC.cos||,cos|AC|BcCbjABABjACsinsin|.cos||||,cos||AC|=⇒=所以BbAaCcBbsinsin,sinsin==同理，,于是有：CcBbAasinsinsin==证法三：分类讨论在直角三角形ABC中，BcbAcasin,sin==所以，)1sin(sinsinsin====CCccBbAa∵在锐角三角形ABC中，作ABCD⊥于点D,BaCDAbCDsin,sin==所以BbAaBaAbsinsinsinsin==，即ABCDABCjCABcabABCD2同理，CcBbsinsin=因此CcBbAasinsinsin==证法四：坐标法：以AC为x轴的正方向，建立坐标系，由三角函数的定义，CayAcyBBsinsin==或无论角A为直角、锐角、钝角总成立所以CaAcsinsin=所以CcAasinsin=2.余弦定理：在三角形ABC中：Abccbacos2222−+=Bcaacbcos2222=+=Cabbaccos2222−+=证法一：（向量法）在三角形ABC中，BCABAC=−两边平方，222||2|AB||AC|BCABAC=⋅−+所以222cos2cCabba=−+同理Abccbacos2222−+=，Bcaacbcos2222=+=证法二：(坐标法)无论三角形是什么样的三角形()()()AcAcBbCAsin,cos,0,,0,0,有两点间的距离公式()AbccbAcAbcbAcAcbAcacos2sincos2cos0sin)cos(2222222222−+=+−+=−+−=所以，Abccbacos2222−+=同理：Bcaacbcos2222=+=Cabbaccos2222−+=3.射影定理：在三角形ABC中:BcCbacoscos+=AcCabcoscos+=AbBaccoscos+=证法一：在三角形ABC中，BCACBA=+设BC的单位向量为e，则BCeACeBAe=+ACBxybcaACBxybcaBCA3|BC|cosC|AC|cosB|BA|=+,,,,即aCbB=+coscosc同理可得AcCabcoscos+=，AbBaccoscos+=证法二：分类讨论下面只对角B为钝角的情况加以证明()BcCbABDcCbBDCDBCa−−=∠−=−==πcoscoscoscosBcCbcoscos+=其他情况类似证明二．三个定理的等价性证明1.正弦定理余弦定理在ABC∆中，π=++CBA()BCCBCBAcossincossinsinsin+=+=,两边平方()()sBcosCsinBsinCco2sin1sinsin1sincoscossinsin2cossincossinsin222222222+−+−=++=BCCBCBCBBCCBA)sinsincos(cossinsin2sinsin22CBCBCBCB−++=()ACBCCBCBCBcossinsin2sinBsincossinsin2sinsin2222−+=+++=由正弦定理Abccbacos2222−+=2.正弦定理射影定理在ABC∆中，π=++CBA()BCCBCBAcossincossinsinsin+=+=,由正弦定理BcCbacoscos+=3.余弦定理正弦定理在ABC∆中，Abccbacos2222−+=Bcaacbcos2-222+=BACDBACBCAD4()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+=−−+=−⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+=−+=222222222222222222224sin14sin12cos2coscabcaBcbacbAacbcaBbcacbA()2222222224sin4acbcbAcb−+−=-----------（1）()2222222224sin4bcacaBca−+−=---------（2）相减可得()()[]()()[]22222222222222222222)(4)sinsin(4acbbcaacbbcaabcBaAbc−+−−+−++−++−=−=0)(422222=−+−baabc所以BaAbBaAbsinsinsinsin2222=⇒=于是BbAasinsin=4余弦定理射影定理在ABC∆中，Abccbacos2222−+=Bcaacbcos2222=+=相加BaAbcbacbacos2cos2222222−−++=+移项，化简：AbBaccoscos+=5.射影定理正弦定理BcCbacoscos+=----------（1）AcCabcoscos+=--------------------------------------------（2222）AbBaccoscos+=----------------------------------------------------（3333）ba×−×)2()1(得()()()AbBaAbBaAbBacbacoscoscoscoscoscos22−+=−=−AbBa2222coscos−=所以：()AbBaAbBa22222222sinsincos1)cos1(=⇒−=−AbBasinsin=即BbAasinsin=6.射影定理余弦定理BcCbacoscos+=----------（1）AcCabcoscos+=--------------------------------------------（2222）AbBaccoscos+=----------------------------------------------------（3333）5Abccbacbacos2)3()2()1(222−=−−×−×−×得：Abccbacos2222−+=∴参考文献：《解三角形》（黄汉禹）上海教育出版社（1981.2）