第十七讲-态的表象和算符的矩阵表示

态和力学量的表象态的表象和算符的矩阵表示周世勋《量子力学教程》§4.1，§4.22013.11.26（一）动量表象（二）力学量表象（三）讨论§1态的表象到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：/21)(ipxpex组成完备系，任一状态Ψ可按其展开dpxtpCtxp)(),(),(展开系数dxtxxtpCp),()(*),(假设Ψ(x,t)是归一化波函数，则C(p,t)也是归一的。命题证dxtxtx),(),(*1dxdpxtpCpdxtpCpp])(),([*])(),([dxxxdppdtpCtpCpp)()(*),(*),()(),(*),(ppdppdtpCtpCdptpCtpC),(*),(（一）动量表象|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的几率。|Ψ(x,t)|2dx是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x→x+dx范围内的几率。Ψ(x,t)与C(p,t)一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。C(p,t)物理意义若Ψ(x,t)描写的态是具有确定动量p’的自由粒子态，即：2)(),(2/pEextxptiEpp则相应动量表象中的波函数：dxtxxtpCp),()(*),(dxexxtiEppp/)()(*dxxxepptiEp)()(*/)(/ppetiEp所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ-函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。x在自身表象即坐标表象中对应有确定值x’本征函数是δ(x'-x)。同样这可由本征值方程看出：)()()()(xxxxxxxxxx所以那末，在任一力学量Q表象中，Ψ(x,t)所描写的态又如何表示呢？推广上述讨论：x,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量Q表象。问题（1）具有分立本征值的情况（2）含有连续本征值情况（二）力学量表象（1）具有分立本征值的情况设算符Q的本征值为：Q1,Q2,...,Qn,...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：dxtxxutaxutatxnnnnn).()(*)()()(),(若Ψ,un都是归一化的，则an(t)也是归一化的。dxtxtx).(),(*1证：dxxutaxutannnmmm)()(*)]()([dxxuxutatanmnmmn)()(*)()(*mnnmmntata)()(*)()(*tatannn由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得Qn的几率。a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。写成矩阵形式)()()(21tatatan共轭矩阵*)(*)(*)(21tatatan归一化可写为)()()(*)(*)(*)(tatatatatatann21211)(*)(tatannn写成矩阵形式（2）含有连续本征值情况例如氢原子能量就是这样一种力学量，即有分立也有连续本征值。设力学量Q的本征值和本征函数分别为：Q1,Q2,...,Qn,...,qu1(x),u2(x),...,un(x),...,uq(x)则dxtxxutadxtxxutaqqnn),()(*)(),()(*)(归一化则变为：|an(t)|2是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果为Qn的几率；在这样的表象中，Ψ仍可以用一个列矩阵表示：)()()()(21tatatataqn*)(*)(*)(*)(21tatatataqn归一化仍可表为：Ψ+Ψ=1dqxutaxutatxqqnnn)()()()(),(1dqtatatataqqnnn)()(*)()(*|aq(t)|2dq是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的几率。同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。（三）讨论)]''(exp[)(),(/'tExpitxp2121]'exp[)'(),(tEipptpC坐标表象动量表象动量本征函数不含时动量本征函数本征方程]'exp[)(),(/'xpitxp2121)'(),(pptpC)(')(''xpxppp)'(')'(pppppp量子力学表象→坐标系不同表象波函数不同坐标系的一组分量u1(x),u2(x),...,un(x),...i,j,k,a1(t),a2(t),...,an(t),...Ax,Ay,Az量子状态Ψ(x,t)矢量A态矢量基本矢量这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由三分量AxAyAz描述；在球坐标系用三分量ArAA描述。AxAyAz和Ar,A,A形式不同，但描写同一矢量A。波函数)()()(21tatatan是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量Q表象，相当于选取特定的坐标系，u1(x),u2(x),...,un(x),...是Q表象的基本矢量简称基矢。态迭加原理一般可写为：nnnnncccc......2211量子力学中态所具有的性质与希尔伯特空间中矢量所具有性质是一致的，因此用希尔伯特空间中矢量可表示量子力学的态。量子力学的数学基础是泛函分析。态叠加原理的一般形式（一）力学量算符的矩阵表示（二）Q表象中力学量算符F的性质（三）Q有连续本征值的情况§２算符的矩阵表示坐标表象：),(),(ˆ),()ˆ,(ˆ),(txixFtxpxFtxxQ表象：假设只有分立本征值，将Φ,Ψ按{un(x)}展开：)()(),()()(),(xutbtxxutatxmmmmmm)()(),(ˆ)()(xutaixFxutbmmmxmmm两边左乘u*n(x)并对x积分)(])(),(ˆ*[)(*)(tadxxuixFudxxuutbmmxnmmnmm)()(taFtbmnmmnmmm)()(taFtbmnmmndxxuixFxuFmxnnm)(),(ˆ)(*Q表象的表达方式代入（一）力学量算符的矩阵表示Q表象的表达方式,2,1)()(ntaFtbmnmmn)()()()()()(2121222211121121tatataFFFFFFFFFtbtbtbmnmnnmmnF在Q表象中是一个矩阵，Fnm是其矩阵元Φ=FΨ简写成Q表象→→坐标表象{Am(t)}Φ(x,t){Bn(t)}Ψ(x,t)HnmFnmĤF写成矩阵形式（1）力学量算符用厄密矩阵表示dxxuFxuFmnnm)(ˆ)(**]*))(ˆ)(([dxxuFxumn*])(ˆ)(*[dxxuFxunm*mnF*~nmFnmF)(所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵。（二）Q表象中力学量算符F的性质（2）力学量算符在自身表象中的形式)()(ˆxuQxuQnnnQ的矩阵形式nmmmnmmnnmQdxxuxuQdxxuQxuQ)()(*)(ˆ)(*结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。nQQQQ0000021（1）只有连续本征值如果Q只有连续本征值q，上面的讨论仍然适用，只需将u,a,b的角标从可数的n,m换成连续变化的q，求和换成积分，见下表。分立谱连续谱)()(*xuxumn，)()(tbtamn，ndq)(),(tbtaqq)()(*xuxuqq，算符F在Q表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：dxxuixFxuFqxqqq)(),(ˆ)(*只是该矩阵的行列是不是可数的，而是用连续下标表示（三）Q有连续本征值的情况例题（周世勋P.116)4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。xL2xLdezpyperpiyzrpi)()21(3deppppierpizyyzrpi))(()21(3deppppirppizyyz）（3)21)()(()()(ppppppiyzzydepzpyeLrpiyzrpippx)ˆˆ()21()(3解：rpiper2321/)()(动量本征函数组成完备系：dLxLpxpppx2*2)()(depzpyerpiyzrpi23)ˆˆ()21(depzpypzpyerpiyzyzrpi)ˆˆ)(ˆˆ()21(3deppppipzpyerpiyzzyyzrpi))()(ˆˆ()21(3depzpyeppppirpiyzrpiyzzy)ˆˆ()21)()((3depppprppiyzzy）（322)21()()()(22ppppppyzzy(周世勋P.116)4.2求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：amndxanxxamax02)(sin)(sin当时nmxanaxunsin2)(基矢：22222anEn能量本征值2sin202axdxamxaxamm对角元：adxxanmxanmxa0)(cos)(cos1anmmnxdxanxamadxxuxxux02sinsin)(ˆ)(*aaxanmnmaxxanmnmaxanmnmaxxanmnmaa02220222])(sin)()(cos)([])(sin)()(cos)([12221111)()()(nmnmanmcnunununnuduusincos1cos2