文科经管类微积分常微分方程

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第五十六讲脚本编写：教案制作：微分方程的基本概念上页下页铃结束返回首页设所求曲线的方程为yy(x).例1.一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.根据导数的几何意义,可知未知函数yy(x)应满足解:此外,未知函数yy(x)还应满足下列条件:由(1)式得，其中C是任意常数.xdxy2,即Cxy2,xdxdy2.—(1)x1时,y2.—(2)把条件“x1时,y2”代入(3)式,得212C,C1.把C1代入(3)式,得所求曲线方程:yx21.—(3)xdxy2,即Cxy2,下页上页下页铃结束返回首页•微分方程•常微分方程与偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.下页凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例上页下页铃结束返回首页例2.列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解:设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米.根据题意未知函数ss(t)应满足:s0.4.—(1)s|t00,s|t020.—(2)由(1)式，积分一次,得s0.4tC1;—(3)再积分一次,得s0.2t2C1tC2,—(4)这里C1,C2都是任意常数.把条件s|t020代入(3)式得20C1;把条件s|t00代入(4)式得0C2.把C1,C2的值代入(3)及(4)式得v0.4t20,—(5)s0.2t220t.—(6)在(5)式中令v0,得t50(s).再把t50代入(6),得s0.25022050500(m).下页上页下页铃结束返回首页提示:•微分方程•常微分方程与偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.它们都是微分方程xdxdy2.例1中所列的关系式为s0.4.例2中所列的关系式为下页凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例上页下页铃结束返回首页•微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.提示:xdxdy2.例1中所列的关系式为s0.4.例2中所列的关系式为这是一阶微分方程这是二阶微分方程几个基本概念下页上页下页铃结束返回首页几个基本概念提示:•微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.在例1中,微分方程y2x的解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4的解有s0.2t2C1tC2,s0.2t220tC2和s0.2t220t.下页上页下页铃结束返回首页求所给函数的导数:解:这表明函数满足所给方程,因此所给函数是所给方程的解.下页例2由上式得:0yyxxycos3sin2上页下页铃结束返回首页下页若一个函数中出现的两个常数不能通过运算合并为一个常数，那么这两个常数是独立的，12xyCCe中的12,CC是独立的，而12xyCCe中的12,CC可以合并为一个常数，所以这里的不独立．例如12,CC常数互相独立上页下页铃结束返回首页几个基本概念提示:•微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.•通解如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.•特解确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解叫特解.在例1中,微分方程y2x的解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4的解有s0.2t2C1tC2,s0.2t220tC2和s0.2t220t.通解通解通解特解什解什么解?下页上页下页铃结束返回首页解通解特解其它共同点：不同点：上页下页铃结束返回首页几个基本概念提示:•初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是当0xx时,0yy,或写成00yyxx.当0xx时,0yy,0yy,或写成00yyxx,00yyxx.当0xx时,0yy,或写成00yyxx.当0xx时,0yy,0yy,或写成00yyxx,00yyxx.例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00,s|t020的解.下页y2x上页下页铃结束返回首页几个基本概念•初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.•初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.求一阶微分方程yf(x,y)满足初始条件00yyxx的解的问题,记为00),(yyyxfyxx.提示:例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00,s|t020的解.下页y2x上页下页铃结束返回首页例解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2,1(0yxMLM.2的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将)1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(故所求的曲线方程为12xy微分方程初始条件通解特解上页下页铃结束返回首页作业P1651.(1)(3)(5)3.2.5.高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）脚本编写：教案制作：可分离变量的微分方程上页下页结束返回首页铃§9.2可分离变量的微分方程上页下页铃结束返回首页第二节可分离变量的一阶微分方程xxfyygd)(d)(xxfyygd)(d)(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的某个原函数,为微分方程的通解.两边积分,为可分离变量的方程.称则fxdydxgy上页下页铃结束返回首页下页221xyyxdxdy例2.求微分方程的通解.)1)(1(2yxdxdy,方程可化为解:dxxdyy)1(112,分离变量得两边积分得dxxdyy)1(112,即Cxxy221arctan.)21tan(2Cxxy.于是原方程的通解为dxxdyy)1(112,即Cxxy221arctan.求方程xyxy2dd的通解.解分离变量,xxyyd2d,积分Cxy2ln,记CCe1,则通解为2e1xCy.或解分离变量,xxyyd2d,积分Cxy2ln,则通解为2e1xCy.例222xCxCyeee22,xCxCyeee2,Cxyee(C1为任意常数)上页下页铃结束返回首页例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即1CCe令(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y≡0)上页下页铃结束返回首页作业P1721.(1)(2)(3)(4)3.(1)2.(1)(2)(5)高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第五十七讲脚本编写：教案制作：一阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、线性方程二、伯努利方程§9.3一阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页第四节一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如,dd2xyxy,sindd4xyxxy,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的..0)(ddyxPxy,d)(dxxPyy,d)(dxxPyy,lnd)(lnCxxPy齐次方程的通解为.ed)(xxPCy1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法:使用分离变量法这里记号xxPd)(表示)(xP的某个确定的原函数.,lnd)(CxxPeey2.线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换xxPxuyd)(e)(,e)]()[(e)(d)(d)(xxPxxPxPxuxuy代入原方程得和将yy),(e)(d)(xQxuxxP,de)()(d)(CxxQxuxxP积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxPxxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)(对应齐次方程的通解非齐次方程特解代入原方程得和将yy),(e)(d)(xQxuxxPxxPxuyd)(e)()dsin(1Cxxx.)cos(1Cxx解]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxP例1上页下页铃结束返回首页例7求方程3(1)2(1)xdyxyexdx解将方程改写为的通解.22(1).1xdyyexdxx先求齐次方程的通解.201dyydxx分离变量,得2.1dydxyx两端积分并整理,得齐次方程的通解2(1).ycx用常数变易法求非齐次线性方程的通解，2()(1),ycxx令2''()(1)()2(1)ycxxcxx两端求导,得().xcxec故原方程的通解为：y=(ex+c)(x+1)2．将y与y’代入非齐次方程,并整理,得'().xcxe两端积分,得上页下页铃结束返回首页例1求方程11dyydxx的通解.解:对应的齐次方程为:10.dyydxx分离变量得11.dydxyxlnln,yxC即,Cyxe或所以齐次方程的通解为:.yCx用常数变易法求非齐次线性方程的通解，(),yCxx令代入方程11dyydxx得1,CxxCxCx即1,Cxx所以1ln.CxdxxCx因此非齐次方程的通解为:ln.yxCx上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程伯努利方程方程nyxQyxPdxdy)()((n0,1)叫做伯努利方程.(1)xxydxdy42;(2)5xyydxdy;(3)xyyxy;(4)4)21(3131yxydxdy.下列方程中哪些是伯努利方程？讨论:×√√√提示:下页方程为线性微分方程.,1,0时当nnnyxQyxPxy)()(dd)1,0(n解法:二、伯努利(Bernoulli)方程得两端除以，ny),()(dd1xQyxPxyynn,1nyz令，则xyynxzndd)1(dd),()(dd11xQzxPxzn求出通解后,将代入即得原方程的通解.nyz1代入上式得),(1)(1ddxQnzxPnxz上页下页铃结束返回首页例4求方程2)(lnyxaxydxdy的通解.例3.以y2除方程的两端,得解:xayxdxdyyln112,即xayxdxydln1)(11.令zy1,则上述方程成为xazxdxdzln1.这是一个线性方程,它的通解为])(ln2[2xaCxz.以y1代z,得所求方程的通解为1])(ln2[2xaCyx.xayxdxdyyln112,即xayxdxydln1)(11.下页上页下页铃结束返回首页例3求4dyyxydxx0,0yx的通解.解:此方程是伯努利方程:124.dyyxydxx方程两边同乘得,12y11224.dyyyxdxx即112242.dyyxdxx令12,zy得41.22dzzxdxx