历年温州市摇篮杯数学竞赛

1温州市摇篮杯数学竞赛训练题2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1、设Ａ到Ｂ的映射f：xy=(x－1)2,若集合2,1,0A，则集合B不可能．．．是（）A、1,0B、2,1,0C、2,1,0D、1,1,02、若命题Ｐ：4)21(1x；Ｑ：04log)1(x，则命题Ｐ是Ｑ成立的（）条件Ａ、充分不必要Ｂ、必要不充分Ｃ、充要Ｄ、既不充分也不必要3、设a)2sin(，则)22tan(的值为（）A、21aaB、21aaC、aa21D、aa214、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（）A、1:1B、4:C、:4D、:25、设正整数集N，已知集合NmmxxA,3|，NmmxxB,13|，NmmxxC,23|，若,,BbAaCc，则下列结论中可能成立的是（）A、cba2006B、abc2006C、bca2006D、)(2006cba6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J，Q，K；则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二进制”数时应为（）位数。A、13B、12C、11D、107、设函数为无理数为有理数xxxf,0,1)(，若)()(xgxxf对于一切Rx都成立，则函数)(xg可以是（）A、xxgsin)(B、xxg)(C、2)(xxgD、xxg)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n项11112113311464115101051…………………2和为nS,则2006200520042SSS等于（）A、502501B、520502C、502503D、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9、现定义Bx,|但AxxBA，若5,4,3,2,1A，3,2,1BA，则集合B可以是___________（写出一个即可）.10、在等差数列na中，若240301849nnSaS,,，则正整数n的值为_________________.11、某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：明文密文密文明文现设解密密钥为：)1,0(aaayxx，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“”．12、设][a表示不超过a的最大整数，则对函数)]([Rxxxy在定义域内有以下判断：（1）存在最大值与最小值；（2）是周期函数；（3）是增函数；（4）是偶函数。其中正确的有___________（填上相应的序号即可）。13、若函数2)cos()sin(34)(cos4)(2xxxxf的图象关于原点对称，则实数的最小正值为_________________。14、若不等式102cbxax的解集为)1,0(，则实数a的取值范围是_________。三、解答题：本大题共3小题，共54分。15、（本题满分16分）已知函数)1,0(),3||(log)(2aaxaxxfa.(1)若4a，写出它的单调递增区间；(2)若对于21121xx的任意实数21,xx都有0)()(21xfxf成立，试求实数a的范围.得分评卷人得分评卷人解密密钥密码加密密钥密码发送316、（本题满分18分）如图，已知ABC，BC=9cm，现有两个质点甲、乙同时从C点出发，甲沿路线ABC以每秒2cm的速度匀速向前移动，乙沿路线AC以每秒1cm的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足83CACD，最后它们同时到达A点。（1）试判断ABC的形状；（2）设在t时刻，甲、乙分别到达E、F处，试确定CEF的面积S与t的关系，并求出S的最大值。17、（本题满分20分）已知函数Raxaaxxf,1)(。利用函数)(xfy构造一个数列nx，方法如下：对于定义域中给定的1x，令))((,),(),(12312Nnxfxxfxxfxnn，…如果取定义域中任一值作为1x，都可以用上述方法构造出一个无穷数列nx。（1）求实数a的值；（2）若11x，求)1()1)(1(21nxxx的值；（3）设))(1()1)(1(21NnxxxTnn,试问：是否存在n使得200620061nnnTTT成立，若存在，试确定n及相应的1x的值;若不存在，请说明理由？得分评卷人得分评卷人ACBD42007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1、已知集合|1,AxxxR，ABR，则集合B不可能．．．是（）A、|1,xxxRB、|1,xxxRC、|1,xxxRD、0,12、已知sin36a，则sin108等于（）A、3aB、334aaC、334aaD、221aa3、已知cba,,均为正数,且都不等于1,若实数zyx,,满足0111,zyxcbazyx,则abc的值等于（）A、1B、2C、3D、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列na，则100a等于（）A、114B、115C、116D、1175、今有一组实验数据如下：x01234y15312最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（）A、xybaB、21ybxaxC、2()yxxabD、sin()yAxB6、已知函数2fxxbxc，若方程fxx无实根，则（）A、对一切实数x，不等式ffxx都成立B、对一切实数x，不等式ffxx都成立C、存在实数b和c，使得不等式ffxx对一切实数x都成立D、不存在实数b和c，使得不等式ffxx对一切实数x都成立7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A、2()fxxB、()1sinfxxC、()ln26fxxxD、2()lg(1)fxxx58、已知点O是ABC所在平面内的一点,3260OAOBOC且::5:4:3ABBCCA，下列结论错误．．的是（）A、点O在ABC外；B、::6:3:2AOBBOCCOASSSC、点O到,,ABBCCA距离的比是72:45:40D、,,,OABC四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9、函数()coscos()2fxxx的最小正周期是．10、设12,ee是两个不共线的向量，若向量12()aeeR与向量12(4)bee共线且方向相同，则．11、已知,ab满足约束条件：2122ababba，则ab的最大值等于．12、已知函数11,021,0xxfxfxx，则13()5f21()5f（填“”或“”）.13、现有1000个苹果，分别装到10个箱子里，要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱，是否可行？若行，每个箱子放的苹果数分别是多少？若不行，请说明理由；答：．14、记,max,,aababbab设221max,xytxy，其中,xyR，则t的最小值为．三、解答题：本大题共3小题，共54分。15、（本题满分16分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为ABC的重心，且满足ABCGBCAG．（1）证明：222,,abc成等差数列；（2）求函数223sinsin23yBB的最大值．得分评卷人得分评卷人616、（本题满分18分）已知函数()afxxax，（1）若方程()0fx有正根，求实数a的取值范围；（2）设()|()|gxxfx，且()gx在区间[0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．17、（本题满分20分）已知斐波那契数列nF满足：11F，21F，21*nnnFFFnN，若数列1nnFF是等比数列（为实常数）．（1）求出所有的值，并求数列nF的通项公式；（2）求证:12200711172FFF得分评卷人得分评卷人72009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2009年4月12日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1．已知ABC是钝角三角形，且角C为钝角，则点Psinsinsin,sincosABCAB落在（▲）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合23,log4,,xMNxy，且2MN，函数:fMN满足：对任意的,xMxfx都有为奇数，满足条件的函数的个数为（▲）A．0B．1C．2D．43．在等差数列na中，已知691319aa，且10,nnasa为数列的前n项和，则在12350,,,,ssss中，最大的一个是（▲）A．15sB．16sC．25sD．30s4．已知函数2fx为奇函数，且满足6fxfx，(3)2f，则20082009ff的值为（▲）A．0B．2C．2D．20095．已知函数421sincossin2cos24fxxxxxxR，则fx（▲）A．最大值为2B．最小正周期为C．一条对称轴为4xD．一个对称中心为7(,)1686．已知函数122,xfx关于x的方程220fxfxk，下列四个命题中是假．命题的是（▲）A．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；B．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；87．如图，在OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OPxOAyOB，则在直角坐标平面上，实数对,xy所表示的区域在直线3yx的右下侧部分的面积是（▲）A．72B．92C．4D．不能求8．已知函数432,,,fxxaxbxcxdabcd为实常数的图象经过三点12,2A，13,3B，14,4C，则15ff的值等于（▲）A．0B．1C．265D．25二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9．已知,0sin2cossin2，，且，若tan3,则tan▲。.10．若0)(55yxyx，则y▲。11．函数12310050fnnnnnnnN的最小值等于▲。12．设函数313xxfx，若x表示不大于x的最大整数，则函数1122fxfx的值域是▲。13．已知二次函数221fxxmx，若对于0,1上的任意三个实数,,abc，函数值,,fafbfc都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m的值可以是▲。（写出一个即可）14．如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现▲次。PMOABN1234567…35791113…812162024…20283644…48648