两条直线的位置关系(含答案)

两直线的位置关系【知识清单】：1．两条直线位置关系的判定位置关系从斜率的角度l1：y1＝k1x＋b1l2：y2＝k2x＋b2从系数的角度l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0特殊情况平行相交特殊情况：垂直重合注意：在判断两条直线的位置关系时，（1）易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．（2）比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．2．两条直线的交点的求法：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离d＝|C1－C2|A2＋B2注意：运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．【考点突破】：考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)1．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．－13C．－23D．－2解析：选D由a·1＋2·1＝0得a＝－2，故选D.2．(2016·金华十校模拟)“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：选A依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.考点二距离问题重点保分型考点——师生共研已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴|4a＋3b－2|5＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②联立可得a＝1，b＝－4或a＝277，b＝－87.∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．[即时应用](2016·绵阳一诊)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95B．185C．2910D．295解析：选C因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.考点三对称问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：角度一：点关于点的对称问题1．(2016·蚌埠期末)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()A．(1,6)B．(6,1)C．(1，－6)D．(－1,6)解析：选D设M(x，y)，则3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)．角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．解析：设A′(x，y)，由已知得y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，故A′－3313，413.答案：A′－3313，413角度三：线关于线的对称问题3．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0解析：选A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y－y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－－3·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝0[方法归纳]：1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1，y＝2b－y1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y2－y1x2－x1·－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快[小题纠偏]1．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是()A．1710B．175C．8D．2解析：选D∵63＝m4≠14－3，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定解析：选C由2x＋y＋m＝0，x＋2y＋n＝0，可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2解析：选C法一：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D.法二：因已知两条直线平行，所以k＝3或k≠3，k－32k－3＝4－k－2≠13，解得k＝3或k＝5.3．平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是()A．85B．2C．115D．75解析：选B依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋82＝2.4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0解析：选D设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·大连二模)已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝()A．－7或－1B．－7C．7或1D．－1解析：选B由题意可得a≠－5，所以3＋a2＝45＋a≠5－3a8，解得a＝－7(a＝－1舍去)．3．(2016·宜春统考)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为()A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析：选D依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，则有|－5k＋2|k2＋1＝|k＋6|k2＋1，因此－5k＋2＝k＋6，或－5k＋2＝－(k＋6)，解得k＝－23或k＝2，故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.4．(2015·合肥一模)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0解析：选B因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则x＋02－y－22－1＝0，y＋2x×1＝－1，解得x＝－1，y＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.6．(2015·成都检测三)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：2x－y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．解析：由2×a＋(3－a)×(－1)＝0，解得a＝1.答案：17．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a－4＋1|a2＋1＝|6a＋3＋1|a2＋1，解得a＝－13或－79.答案：－13或－798．(2016·江西八校联考)已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3，∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝42，当且仅当x＝2y＝32时等号成立，故2x＋4y的最小值为42.答案：429．已知光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点