(整理)第10章-微分方程.

精品文档精品文档第十章微分方程第一节微分方程的基本概念教学内容1.微分方程的基本概念;教学的目的与基本要求1.了解微分方程、偏微分方程的概念;2.理解常微分方程的概念、常微分方程的阶、常微分方程的解、通解、特解、初始条件、初值问题；教学重点与难点重点微分方程的概念.难点微分方程的概念.教学时数2讲授内容：一、引例曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解:设所求的曲线为)(xyyxdxdy2,2,1yx时其中xdxy2,,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为二、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.常微分方程:未知函数是一元函数微分的方程偏微分方程:未知函数是多元函数微分的方程微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.例:,xyy,0)(2xdxdtxt一阶常微分方程,32xeyyy二阶微分方程;,yxxz偏微分方程三、主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：精品文档精品文档(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.例:,yy;xCey通解,0yy;cossin21xCxCy通解(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:确定了通解中任意常数附加条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.精品文档精品文档第二节几类一阶微分方程的解法教学内容1.可分离变量的微分方程;2.齐次方程3.一阶线性微分方程教学的目的与基本要求1.掌握可分离变量的微分方程的解法;2.掌握齐次方程的解法;3.掌握一阶线性微分方程的解法.教学重点与难点1、重点分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程的解法;用变量代换法解微分方程的思想.2、难点用变量代换法解微分方程的思想.教学时数4一、一阶微分方程的一般形式0),,(yyxF或),(yxfdxdy二、可分离变量的一阶微分方程1.定义)()(ygxfdxdy可分离变量的微分方程.2.分离变量法步骤:(1)、分离变量;)0)((,)()(ygdxxfygdy(2)、两端积分-------隐式通解.设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(1;设函数)(yG和)(xF是依次为)(1yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为此微分方程的隐式通解.3.例题例1求微分方程xydxdy2的通解.解:把xydxdy2分离变量后得精品文档精品文档,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy所以2xCey为所求微分方程的通解.例2求微分方程yexy)1(2的通解.例3求微分方程0,02xyxyey的特解.三、齐次方程1.定义)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.齐次方程解法步骤:(1)、作变量代换,xyu,xuy即,dxduxudxdy代入原式),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程(2)、求解可分离变量的方程xuufdxdu)(,0)(时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()((3)、,代入将xyu,)(xyCex得通解(4)、当存在,0u使0)(00uuf,,0是新方程的解则uu.0xuy得齐次方程的解3.例题例4求微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx的通解.解:，令xyu，则udxxdudy精品文档精品文档,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu微分方程的通解为.lnsinCxxy例5求微分方程22yxxyy的通解.四、一阶线性微分方程1.定义形如)()(xqyxpdxdy的微分方程称为一阶线性微分方程.当0)(xq时,上方程称为齐次的；当0)(xq时,上方程称为非齐次的.例,2xydxdy,sin2ttxdtdx线性的;,32xyyy,1cosyy非线性的.2.一阶线性微分方程的解法(1)、线性齐次情形（分离变量）(使用分离变量法).0)(yxpdxdy,)(dxxpydy,ln)(lnCdxxpy齐次方程的通解为.)(dxxpCey(2)、非齐次情形（常数变易）).()(xqyxpdxdy,)()(dxxpyxqydy两边积分,)()(lndxxpdxyxqy),()(xvdxyxq为设,)()(lndxxpxvy精品文档精品文档.)()(dxxpxveey即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数新未知函数作变换dxxpexuy)()(,)]()[()()()(dxxpdxxpexpxuexuy代入原方程得和将yy),()()(xqexudxxp积分得,)()()(Cdxexqxudxxp一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxpdxxpeCdxexqy)()(])([dxexqeCedxxpdxxpdxxp)()()()(非齐次方程=对应齐次方程通解+非齐次方程特解.3.例题例6求微分方程23xyy满足初始条件,0|0xy的特解.例:dxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求的特解为).222(32xxeyx例7求微分方程0)ln(lndyyxydxy的通解.作业：练习册第48.49次第三节二阶常系数线性微分方程教学内容提要1.二阶常系数齐次线性微分方程;2.二阶常系数非齐次线性微分方程.教学的目的与基本要求精品文档精品文档1.了解二阶常系数线性微分方程解的结构;2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法;3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.教学重点与难点1、重点二阶常系数齐次线性微分方程的解法;二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.2、难点教学时数8二阶线性微分方程解的结构;自由项为三角函数与指数函数乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.一、二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式)(xfqyypy当0)(xf时,上方程称为齐次的；当0)(xf时,上方程称为非齐次的.二、二阶常系数线性齐次微分方程的通解二阶常系数线性齐次微分方程；)1(0)()(yxqyxpy1.叠加原理定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）证明见P3312.线性相关性定义：设)(,),(),(21xyxyxyn为定义在区间D内的n个函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当x在该区间内有恒等式成立0)()()(2211xykxykxyknn，那么称这n个函数在区间D内线性相关．否则称线性无关.时，当),(xxxxeee2,，线性无关;xx22sin,cos1，线性相关.特别地:若在D上有常数，)()(21xyxy则函数)(1xy与)(2xy在I上线性无关.否则称线性无关.3.二阶常系数线性齐次微分方程解的结构定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就精品文档精品文档是方程(1)的通解.4.二阶常系数线性齐次线性方程解法,rxey设将其代入上方程(1),得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr----特征方程特征根,2422,1qppr(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解,11xrey,22xrey得齐次方程(1)的通解为;2121xrxreCeCy(2)有两个相等的实根特征根为,221prr一特解为,11xrey,)(12xrexuy设另一特解为代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则得齐次方程(1)的通解为;)(121xrexCCy(3)有一对共轭复根,1jr,2jr,)(1xjey,)(2xjey重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyjy,sinxex得齐次方程(1)的通解为).sincos(21xCxCeyx定义:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.5.例题例8求微分方程032yyy的通解.精品文档精品文档解:特征方程为,0322rr解得3,121rr故所求通解为.321xxeCeCy例9求微分方程044yyy的通解.解:特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例10求微分方程.052yyy的通解.解:特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解二阶常系数线性非齐次微分方程:)1(0)(,)()()(xfxfyxqyxpy且定理3设*y是二阶非齐次线性方程)2(0)()()()(xfxfyxqyxpy且的一个特解,y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yyy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.证明见p336定理4设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函数之和,如)()()()(21xfxfyxqyxpy而1y与2y分别是方程,)()()(1xfyxqyxpy)()()(2xfyxqyxpy精品文档精品文档的特解,那么21yy就是原方程的特解.1.待定系数法(1))()(xPexfmx,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10kmmmmmbxbxbxbxQ1110)(例11求微分方程xxeyyy223的通解.解:特征方程为,0232rr解得，，2121rr对应齐次方程通解,221*xxeCeCy,)(2xeBAxxy设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy(2)]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx]sin)(cos)([xxVxxUexymmxk设,},max{nlm,10是单根不是根iik例12求微分方程xxyy2sin的通解.见p3402.常数变易法例13求微分方程xyytan的通解.解:对应齐次方程通解精品文档精品文档,sincos21*xCxCy,sin)(cos)(21xxcxxcy设带入原方程解得,cos)(tanseclnsin)(2211CxxcCxxxxc原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy作业：练习册第50.51次第四节可降阶的高阶微分方程的解法教学内容1、高阶方程：)()(xfyn的降阶法。2、高阶方程：),(yxfy的降阶法。3、高阶方程：),(yyfy的降阶法。教学的目的与基本要求知道下列几种特殊的高阶方程：)()(xfyn