可降阶高阶微分方程

13-12020/5/13可降阶高阶微分方程机动目录上页下页返回结束第4节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程13-22020/5/13解法：特点：.,,)1(nyyy及不显含次。连续积分n)()()1()(xfyynn一、y(n)=f(x)型微分方程1)1()(Cdxxfyn21)2())((CdxCdxxfynnCdxdxCdxCdxxfy))))((((21,,2/1013-32020/5/13例1.解:12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey241xey281xsin21xC32CxCxcos21CxC机动目录上页下页返回结束13-42020/5/13设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy机动目录上页下页返回结束二、y=f(x,y')型微分方程特点：.y不显含因变量解法：因变量换元13-52020/5/13例2.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为机动目录上页下页返回结束13-62020/5/13令),(ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解机动目录上页下页返回结束三、y=f(y,y')型微分方程特点：.x不显含自变量解法：13-72020/5/13例3.求解代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd则xyypddddyppdd机动目录上页下页返回结束13-82020/5/13例4.解初值问题解:令02yey,00xy10xy,py,ddyppy则代入方程得积分得1221221Cepy利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据yepxydd积分得,2Cxey,00xy再由12C得故所求特解为xey1得机动目录上页下页返回结束13-92020/5/13为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面例5.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是cot2121yS2S在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(99考研)ttySxd)(02Pxy1S1oyx机动目录上页下页返回结束13-102020/5/13再利用y(0)=1得利用得xttyyy021d)(两边对x求导,得2)(yyy定解条件为)0(,1)0(yy),(ypy令方程化为yyppdd,1yCp解得利用定解条件得,11C,yy再解得,2xeCy,12C故所求曲线方程为2ddpyppy12SPxy1S1oyx机动目录上页下页返回结束13-112020/5/13内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy机动目录上页下页返回结束13-122020/5/13思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.机动目录上页下页返回结束13-132020/5/13oyx)1,0(A速度大小为2v,方向指向A,)0,1(),(yxBtv提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有yxysxd112xytxd1dd12去分母后两边对x求导,得又由于ytv1x设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题的速度沿y轴正向运动,物体B从(–1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①机动目录上页下页返回结束13-142020/5/130121dd222yxyx代入①式得所求微分方程:其初始条件为,01xy11xyoyxA)0,1(),(yxBtv机动目录上页下页返回结束