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第2章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数的步骤,以及插值函数的基本性质.本章要点通过弹性力学平面问题和三角形单元阐述基于弹性力学最小位能原理,建立有限元求解方程的步骤.有限元方程求解前引入位移边界条件的必要性和方法.有限元方法的收敛准则.有限元方法求解弹性力学问题的一般原理和步骤.第2章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式单元位移模式及插值函数平面问题3结点三角形单元的有限元格式典型3结点三角形单元结点编码为i,j,m(逆时针方向为正)每个结点的位移(2个)(,,)iiiuijmva每个单元的结点位移(6个)=iTejiijjmmmuvuvuvaaaa3结点三角形单元位移模式选取一次多项式单元的位移模式及插值函数平面问题3结点三角形单元的有限元格式123uxy456vxy是待定系数,称为广义坐标,可以用单元的6个结点位移表示123456,,,,,结点i(xi,yi)的x方向位移ui123iiiuxy123jjjuxy123mmmuxy同理平面问题3结点三角形单元的有限元格式求广义坐标123456,,,,,线性代数方程系数行列式11=2A1iijjmmxyDxyxyA是三角形单元的面积111=2AiiijjjiijjmmmmmuxyuxyauauauDuxy平面问题3结点三角形单元的有限元格式21111=2A1iijjiijjmmmmuyuybububuDuy31111=2A1iijjiijjmmmmxuxucucucuDxu=jjijmmjmmxyaxyxyxy1=y1jijmmybyy1=1jijmmxcxxx其中,,ijm下标可以轮换平面问题3结点三角形单元的有限元格式iijjmmuNuNuNu结点i(xi,yi)的y方向位移vi456,,结点位移表示的位移函数iijjmmvNvNvNv其中1,,2iiiiNabxcyijmA称为单元的插值函数或形函数,是x,y的一次函数.,,ijmNNN平面问题3结点三角形单元的有限元格式000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuvu结点位移表示的位移函数N称为插值函数矩阵或形函数矩阵iijmjmNNNaIIIaaieijmjmaNNNaNaa平面问题3结点三角形单元的有限元格式1,(,,)0iiiijifijNxyijmifij形函数性质1ijmNNNiijjmmuNuNuNu结点上形函数的值单元中任一点各形函数之和等于1x方向有刚体位移u0,则0ijmuuuu00ijmNNNuu若形函数不满足此要求,则不能反映单元的刚体位移,用这形函数求解就得不到正确结果.3结点三角形单元的形函数是线性的,在单元内部及边界上的位移可由结点位移唯一确定.相邻单元公共边界上位移连续.平面问题3结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵xeexijmxyεLuLNaLNNNaeeijmBBBa=Ba单元位移单元应变B称为应变矩阵,L是平面问题的微分算子.应力和应变几何方程物理方程平面问题3结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵11,22iiiiNNbcxAyA00000,,0iiiiiiiiNxxNNijmyyNNNyxyxBLN=应变矩阵B的分块子矩阵12ijmijmijmiijjmmbbbcccAcbcbcbBBBB12iiiiNabxcyA010,,2iiiiibcijmAcbB平面问题3结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵xeeyxyσDεDBaSa单元应力其中ijmijmSDBDBBBSSSS称为应力矩阵,其分块矩阵为0002000,,211122iiiiuiiibcEbcijmAcbSDB平面应力00,EE平面应变002,11EE平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程12TTTpStdxdytdxdytdsεDεufuT最小位能原理的泛函总位能对离散模型,系统位能是各单元位能的和.结构结点位移eaGa12eeeeTTepeeTTeTTSeetdxdytdxdytdSaBDBaaNfaNT平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程1122Tiinnuvuvuvuva62000000000000000000000000000000000000000000000011111100nG122122122212iimjjnm其中n为结构的结点数平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程离散形式的总位能12TTeTTepeeaGKGaaGP单元刚度矩阵eTetdxdyBDBK单元等效结点荷载列阵+eeeeesbTTStdxdytdSPPPNfNT整体刚度矩阵TeeKGKG结构结点荷载列阵TeePGP平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程离散形式的总位能p的未知变量是结构的结点位移a,泛函p取驻值的条件为0pKaP有限元求解方程12TTpaKaaP即0pa平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征iiijimeTjijjjmmimjmmtAKKKKBDBKKKKKK3结点三角形单元的应变矩阵是常量阵eTetdxdyBDBK单元刚度分块矩阵1302024,,,41TrsrsKKEttArsijmAKKKBDB0112rsrsKbbcc02012rsrsKcbbc03012rsrsKbccb0412rsrsKccbb对称性平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征对称性TsrrsKK利用最小位能原理建立单元的平衡方程eeeKaP单元刚度矩阵元素的物理意义123456TeiijjmmTuvuvuvaaaaaaa123456TeixiyjxjymxmyTPPPPPPPPPPPPP平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征111216112122262261626666KKKaPKKKaPKKKaP单元刚度矩阵元素的物理意义单元结点平衡方程令12361(1),0iauaaa11121261611KPKPKPa第一列元素的物理意义:当a1=1时,其他结点位移为零,需要在单元各结点位移方向上施加结点力的大小.平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵元素的物理意义单元在结点力作用下处于平衡状态元素Kij的物理意义:当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时,需要在单元第i结点方向上施加的结点力的大小.x方向1131510KKKy方向2141610KKK平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征奇异性单元刚度矩阵是奇异的,不存在逆矩阵.任意刚体位移eP物理解释:单元平衡时,结点力相互不独立,必须满足三个平衡方程.eaeeeKaP单元的平衡方程平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征主元恒元分块矩阵Krs当r=s=i,j,m时,主元K1和K4恒正.物理解释:要使结点位移ai=1,施加在ai方向的结点力必须与位移ai同向.0iiK0112rsrsKbbcc0412rsrsKccbb平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载列阵eeesbPPP0f结构结点荷载列阵0eiiejjmmtdxdyPNPPNPNeeTbtdxdyPNfeeTsStdSPNT均质等厚单元的自重例1yxoiPiyPixPmymPmxjPjyPjx平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载结点的等效结点荷载等效结点荷载列阵000eixiiiyiNtdxdyNPPP00,,13eiijmNtdxdytA10101013TetAP平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载列阵eeesbPPPsincosxyqqqqTeeTbtdxdyPNfeeTsStdSPNT均布侧压q,作用在ij边例2yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLijjiqyyLqxxL单元边界上的面积力平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元边界上取局部坐标s,沿ij边插值函数为1,,0ijmssNNNLLyxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLs结点的等效结点荷载1ixixxllsNqtdsqtdslP2ijtqyy2iyjitqxxP同理平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLs结点的等效结点荷载jxjxxllsNqtdsqtdslP2ijtqyy2iyjitqxxP同理0mxmyPP1002TeijjiijjiqtyyxxyyxxP平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载11010002TeqltP在ij边上x方向均布力q例3等效结点荷载yxojPjxPjyPixiPiymPmxPmyq0qT单元边界上的面积力平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载在ij边上x方向三角形布荷载例41210000233TeqltP等效结点荷载10sqlT单元边界上的面积力写成局部坐标的函数yxojPjxPjyPixiPiymPmxPmyq平面问题3结点三角形单元的有限元格式结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成单元刚度矩阵的转换00000000000000000000010TiiijimTejijjjmmimjmmIIIIIIijmKKKGKGKKKKKK1ijmn平面问题3结点三角形单元的有限元格式结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成单元刚度矩阵的转换100000000000000001iiijimTejijjjmmimjmmijmnijmnKKKGKGKKKKKK其中n为结点总数;i、j、m为单元结点码.平面问题3结点三角形单元的有限元格式结
本文标题:弹性力学问题有限单元的一般原理
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