将军饮马

生活中的轴对称轴对称的应用-----将军饮马问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？BAl将军饮马激疑引趣任务驱动启迪智慧问题图形语言描述1、截至目前，你学到那些最短问题？AB两点之间，线段最短。ALO直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。2、如图，A,B两点位于直线L的两侧，你能在直线L上找一点P，使得点p到A、B两点距离之和最短吗？ABLP将直线异侧的两点A、B直接连接，交直线L于点P，此时PA+PB最短。问题图形语言描述3、你能把“将军饮马问题”转化成具体的数学问题吗？任务驱动启迪智慧ABLP？A、B两点位于直线L的同侧，在直线L上找一点P，使得点P到A、B两点的距离之和最小。4、怎样才能找到符合条件的点P呢？问题3与问题2的区别在哪？你能把问题3转化成问题2的情形吗？通过照镜子：你能得到什么启发呢？镜子AA′像p照镜子：物和像关于镜面成抽对称，镜面上的任意一点到物和像对应点的距离相等。5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮助将军解决问题的了吗？BAlB′P探索新知6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？探究新知ABLB/PQ证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、QB/，如图所示。∵PA+PB=PA+PB/=AB/QA+QB=QA+QB/又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大于第三边）∴PA+PB＜QA+QB即此时点P使得PA+PB的值最小2016.4