Young不等式

Young不等式的几种证明及应用邢家省（北京航空航天大学数学系，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100083；摘要:Young不等式及与之相关的Hölder不等式和Minkowski不等式都是非常重要的不等式，在分析数学中有着广泛的应用，对于促进现代数学的发展起到了非常重要的作用。本文主要给出Young不等式的几种证明方法及Young逆不等式的几个常见应用。关键词: Young不等式；Hölder不等式；Minkowski不等式中图分类号:O177.2 文献标识码:AYoung不等式和与之相关的Hölder不等式和Minkowski不等式是在现代分析数学中应用非常广泛的不等式，具有各种不同的形式。原始的Young不等式是数学家W.H.Young在1912年给出的，并以其名字来命名它。由Young不等式可以得到Hölder不等式，进而得到Minkowski不等式。虽然O.Hölder于1889年便在其著作中证明了Hölder不等式，但是在现在的绝大部分书籍中都是用Young不等式做为引理来证明它的。Minkowski不等式是由H.Minkowski于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。在数学分析、调和函数、泛函分析和偏微分方程等学科中上述三个不等式的身影处处可见，是使用得最为频繁，最为广泛的知识工具.本文的目的就是通过对Young不等式，Hölder不等式和Minkowski不等式及它们的逆不等式的相关内容的归纳整理，使人们能够更加清楚的认识到它们的重要作用。作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,北京航空航天大学副教授,从事偏微分方程研究和数学课的教学工作.1原始Young不等式的定义及证明定理1（原始Young不等式）设是严格单调增加的连续函数（），，又设为的反函数，则对任意,成立不等式：,（1）收稿日期：]2[)(xf0≥x0)0(=f)(xg)(xf0,0≥≥ba∫∫+≤⋅abdxxgdxxfba00)()(页码，1/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm式中等号当且仅当时适用。证明(1)面积法：根据函数和其反函数的图形特性,及曲线与轴和轴所围的面积,,,比较矩形面积与,便知成立.(2)分析法：(a)我们先证明,（2）由在上是严格单调增加的连续函数，得在上是严格单调增加的连续函数，故（2）式中积分有意义，将区间做等分划，记分点为，相应的点,,构成区间的一个分划,因在上连续，故在上一致连续，故时，对于此分划来讲，有,故)(afb=)(xfy=)()(1ygyfx==−xy∫=adxxfS01)(dxxgdyygSbb∫∫==002)()(21SS+21SSab+≤∫∫+=abdxxgdxxf00)()()()()()(010afadyyfdxxfafa⋅=+∫∫−)(xf[]a,0)()(1yfygx−==[])(,0af[]a,0naxxxxn==2100)(iixfy=),,2,1,0(ni=[])(,0af)(0210afyyyyn==)(xf[]a,0[]a,0∞→n[]0)()(max)(maxmax11111→−=−=Δ−≤≤−≤≤≤≤iiniiiniinixfxfyyy∫∫−+)(010)()(afadyyfdxxf∑∑==−−∞→Δ+Δ=niniiiiinyyfxxf1111))()((lim[]∑=−−−−∞→−+−=niiiiiiinxfxfxffxxxf11111))()())((())((lim[]∑=−−−∞→−⋅+−=niiiiiiinxfxfxxxxf1111))()(())((lim[]∑=−−∞→⋅−⋅=niiiiinxfxxfx111)()(lim[])()(lim00xfxxfxnnn⋅−⋅=∞→页码，2/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm=,(2)式获证。(b)：由（2）式可知，若，则（1）式中等号成立。(c)：若，则由的连续性可知，，使，于是;(d)：当时,,(e)：联系(b),(c),(d)可知（1）式成立，（1）中的等号成立当且仅当.2常用Young不等式的定义及几种证明方法定理2（Young不等式）设则，必有,（3）上式中等号成立的充要条件是.注1p和q也称为共轭指数，这种说法我们在下面的讨论中将会经常用到,显然,[])0(0)(limfafan⋅−⋅=∞→)(afa⋅baf=)()(0afb)(xf),0(0ax∈∃bxf=)(0∫∫−+badyyfdxxf010)()(∫∫∫−++=baxxdyyfdxxfdxxf010)()()(00))()(()()(010000∫∫∫−++=xfaxxdyyfdxxfdxxf)()()(0000xfxxaxf⋅+−⋅baxfa⋅=⋅=)(0)(afbdyyfdxxfba)()(010∫∫−+∫∫∫−−++=bafafayfdyyfdxxf)(1)(010)(])()([))(()]([)(1afbaffafa−⋅+⋅−abafbaafa=−+⋅=))(()(baf=)(,111,1,1=+qpqp0,≥∀baqbpabaqp+≤⋅qpba=pqqp=+页码，3/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm,,,.由于Young不等式的重要性，关于它的证明方法有很多，下面我们给出7种不同的证明方法，由于的情况下，结论显然，在下面的讨论中，我们不妨均设.证明(1)微分法:①：此时我们只要考虑到函数，,,显然,当时,,在上严格单调减少;当时,,在上严格单调增加;于是仅在取得最小值，从而成立不等式,即,在此不等式中取，并注意,即可导出成立不等式,()且等号成立当且仅当,即.②：令,，则,,当时,;当时,,所以在处为最小，但，故，即成立不等式1)1)(1(=−−qppqp=−)1(1−=ppq111−=−qp0=⋅ba0,0baxqxpxfp−+=11)()0(≥x1)(1−=′−pxxf0)1(=′f10x0)(′xf)(xf]1,0[1x0)(′xf)(xf),1[+∞)(xf1=x)1()(fxf≥011≥−+xqxpp)0(≥xqbbax⋅=pqqp=+qbpabaqp+≤⋅0,0ba1=⋅=qbbaxqpba=xbqbpxxfqp⋅−+=)()0(xbxxfp−=′−1)(0)(11=′−pbf110−pbx0)(′xf11−pbx0)(′xf)(xf11−=pbx0)(11=−pbf0)(≥af页码，4/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm,()且等号成立当且仅当,即.(2)定积分方法设,则在上是严格单增的连续函数,,其反函数为,从曲线与轴和轴所围的面积,,并与矩形面积相比较得到，注意到，,故证得结论。(3)代数法注意到当，时，有，等号成立当且仅当。设，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，，于是得到。(4)分析法在原始Young不等式中,令，因为，则，代入即得结论。(5)凸函数对数法设是凸函数，,则有qbpabaqp+≤⋅0,0ba11−=pbaqpba=1)(−==pxxfy)(xf),0[+∞0)0(=f1111)(−−−===qpyyyfx)(xfy=xy1S2S21SSba+≤⋅∫==−apppadxxS011∫==−bqqqbdyyS0120y10m)1(1−≤−ymym1=y0,BABAy=0B)(1BAmBBAmm−≤−−BmmABAmm)1(1−+≤−11=pmqpbBaA==,qbpabaqp+≤⋅∫∫+≤⋅abdxxgdxxfba00)()()1()(1=−pxxfp111=+qp111)(−−==qpyyyg)(xf0)(′′xf页码，5/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm,（4）等号成立当且仅当.令，显然是凸函数，将它带入式（4）中得,从而成立,令，代入上式即得结论。(6)应用凸函数的Jensen不等式法首先我们给出Jensen不等式:设是凸的，则对有限区间及可积函数均成立。下面应用Jensen不等式来求Young不等式。定义,对在上应用Jensen不等式，得,由此即得所要证的不等式。(7)Legendre变换与Young不等式设是一个凸函数,.对任意给定,定义函数,称函数为函数的Legendre变换.显然成立Young不等式.))1((21xxfλλ−+)()1()(21xfxfλλ−+≤)10(λ21xx=xxfln)(−=)(xf))1(ln(ln)1(ln2121xxxxλλλλ−+≤−+21121)1(xxxxλλλλ−+≤⋅−)10(λpbxax1,,11211===−λλλRR→:ϕ∫∫−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−babadttfabdttfab))((1)(1ϕϕ[]ba,[]Rbaf→,:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤=11,ln10,ln)(tpbqptaptfxex=)(ϕ[]1,0∫∫≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛1010))(()(dttfdttfϕϕ)(xfy=0)(′′xfp))((max)(xfpxpgx−=)(pg)(xf)()(pgxfpx+≤页码，6/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm对,,,令,显然,则在处达到最大值,即得的Legendre变换为,于是成立,()且等号成立当且仅当.在不同的数学领域中，Young不等式还有许多不同的形式，如：带的Young不等式：对任意和对于有;卷积形式的Young不等式：设，则;广义Young不等式：设，，则，且,.Young不等式的一个最大贡献就是由它可以推导出在分析类学科中应用广泛的Hölder不等式和Minkowski不等式，并且应用它们能够证明空间和空间是赋范线性空间及各种深刻性结果,从而为人)1(,1)(=αααxxf111=+βα0pααxpxxfpxxpF1)(),(−=−=1),(−−=′αxpxpFx),(xpF111)(−−===βαpppxxββββαppppxpFpg11))(,()(=−==ααxxf1)(=ββppg1)(=βαβαpxpx11+≤111,1,1,0,0=+βαβαpxβαpx=ε0,≥ba,0ε,,1∞qp,111=+qpqbpababaqpqppp−−+≤=⋅εεεε))((11)1)((),(1∞≤≤∈∈pRLgRLfnpnppgfgf1≤∗),(npRLf∈),(nqRLg∈∞≤≤qp,11/1/1≥+qp)(nrRLgf∈∗qprgfgf≤∗)1(111+=+−−−rqpplpL页码，7/13Young不等式的证明及应用2009-6-13file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm们对这两个空间的研究开辟了一条新的途径.3Young不等式在空间中的应用设是中的可测集,空间的定义是熟知的,记,我们用表示使的的全体，称其为空间;我们用表示上全体本性有界函数组成的向量空间，记. 定理3（积分形式的Hölder不等式）设，q是p的共轭指数，对于，，有，并且（5）证明为了得到（5），我们只要在Young不等式（3）中令，，（这里，我们约定上两分式中分母都不是0，否则结论是显然的），则有，由于上面的不等式右端是可积函数，可知左端亦是可积函数。将上式两边积分可得，即得结论。注1：从证明根据和过程可以发现式（5）中等号成立的条件是.注2：积分形式的Hölder不等式可以推广到