两类曲线积分与格林公式-习题课

两类曲线积分习题课曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式曲线积分与路径无关1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）iiniiLsfdsyxf),(lim),(102.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf一、基本内容第一类曲线积分的计算)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL则上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf推广)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc特殊情形.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积sL),(yxfz,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsxIdsyI曲线弧的重心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxPLLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR性质.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLLLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第二类曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(其中L是D的取正向的边界曲线,格林公式2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广.1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。定理设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)yQxPyxudd),(d(4)在D内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即,d22Lyxse计算,:222ayxL由圆周轴及直线xxy在第一象限中所围图形的边界.ABLyxsed22⌒BOABOA提示解:OA,0yOAyxsed22xsd01d2:AB⌒,sin,cosayax40seAByxd22⌒d40aeaxeaxd01aeaae4,0axxyO例二、例题AB:BO,xyseBOyxd22xsd11d2xeaxd222021aeLyxsed22故aaaee4)1(2.220axxyO例Lsyx.d)(3其中L是圆周.222Ryx解LLsysxdd3Lsyxd)(3,dLsx对因积分曲线L关于被积函数x是L上0dLsxLsy,d3对被积函数0d3Lsy因积分曲线L关于3y222Ryx对称性,计算得0是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数xyOdds例计算其中为球面解,1141)21(21:22zxyx:202)sin2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx29222zyx化为参数方程21cos2xsin2y例计算其中L为,)()(22LyxdyyxdxyxI解圆周:，方向沿逆时针.222ayxLadyyxdxyxI2)()(),20:(sincos:ttaytaxLdttt)cos(sin2202dt202dtatatatatatata202)cos)(sincos()sin)(sincos(方向。为半径的圆周，逆时针）为圆心，，：以（，：计算例)1(01422RRLyxydxxdyL解xQyxxyyPyx22222)4(4)0,0(),(时，当04,1)1(22yxydxxdyR时当取逆时针方向。内，在且足够小，使得其中：作曲线时当CLCrryrxCR,0,sin2cos,1)2(222244LCCxdyydxxdyydxxyxy原式drrrrr2024)sin(sin2cos2cos02021d例问是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数.如是,解在全平面成立.xQeyPy所以上式是全微分式.222yxexy因而一个原函数是：全平面为单连通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d)(),(),()0,0(yyxeyyd)2(0xxexd)(00xyO法一)0,(x(x,y)这个原函数也可用下法“分组”凑出:222dyxxey222),(yxexyxuyyyxexxeyyd)2(d)()dd(yxexeyy)(dyxe)d2d(yyxx222dyx),(yxu法二因为函数u满足Pxexuy故yy2)(从而所以,Cyxxeyxuy222),(问是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数.如是,xxeuyd)(22xxey)(y由此得yxey2y的待定函数法三()yexyuy2()2dyyyyC。试求　　恒有任意与积分路径无关，且对且曲线积分导数，平面上有连续的一阶偏在例　设函数),(),(2),(2,,),(2),(),1()0,0()1,()0,0(yxQdyyxQxydxdyyxQxydxtdyyxQxydxxOyyxQttLxyPxQxyyxP22),(件得，由积分与路径无关条解法一：设)(),(2yCxyxQ)1,()0,0(),(2tdyyxQxydx102102)()(dyyCtdyyCt),1()0,0(),(2tdyyxQxydxttdyyCtdyyC002)()(1tdyyCtdyyCt0102)()(由题设得：)(12tCtt求导得：　两边对.12),(12)(2yxyxQttC　　　　),(,2),(),,(2yxQyuxyyxPxuyxu　　使存在函数　由积分与路径无关，解法)(2),(2yfyxxydxyxu)(),('2yfxyxQ由已知积分等式得：)()1(),1()1,(2tftfttutu　　12)()(12''ttftftt求导得：　两边对.12),(2yxyxQ。功最大？并求此最大功所做的一点时，使的第一卦限部分上的哪沿直线移动到曲面原点，问将质点从已知力场例FczbyaxOkxyjzxiyzF1.222222),,(wvuA一点为设曲面上OAxydzzxdyyzdxW)(000000:twzvyuxOA解：OAxydzzxdyyzdxW)(000000:twzvyuxOA10:,,,:twtzvtyutxOA10)]())(()())(()())([(wtdvtutvtdutwtutdwtvt1023dttuvwuvw)1(222222cwbvauuvwF),3,3,3(cba.33abcW)1(222222cwbvauuvwF1020202222222222cwbvaucwuvFbvuwFauvwFwvu222222cwbvau31选择题：).(),()()()(),()()()(:.1LdxyxfABBAttytxL则，，终点为中始点为的有向光滑曲线段，其是一连接两点已知dttttfDtdtttfCdtttfBdtttfA)()](),([.)()](),([.)](),([.)](),([.D.),(),,(.3）径无关的充要条件是（域内与路在分连续偏导数，则曲线积上具有一阶在单连通区域设函数DQdyPdxDyxQyxPLyPxQDxPyQCxPyQByPxQA....D).(,).222的圆周，则积分是半径为是圆心在原点、其中（曲线积分aCdsyxC33324.2..2.aDaCaBaAC).(),1,0(,)0,1(:1)cossin()sincos2(.5222IBAyxBAdyxyxdxxyyxIBA则弧为位于第一象限中的圆其中弧，曲线积分2.2.1.0.DCBA