衍射理论基础

第三章衍射理论基础衍射是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离“直线传播”的现象。“光的衍射”也可以叫作“光的绕射”，就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传播到障碍物后面的阴影区。对于声波和无线电波来说，由于它们的波长较长，在日常生活中可以很明显地感觉到它们的衍射现象；而光的衍射现象，由于光的波长较短，只有光通过很小的孔或狭缝时才能明显地观察到。光的衍射现象，按光源、衍射孔（或屏障）和观察衍射的场三者之间的距离的大小，通常分为两种类型：一种叫菲涅耳（Fresnel）衍射，这是光源和衍射场或二者之一到衍射孔的距离都比较小的情况；另一种叫夫琅和费（Fraunhofer）衍射，这是光源与衍射场都在离衍射物无限远处的情况。§3-1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯（Huggens）原理是描述波的传播过程的一个原理。如图所示，设波源S在某一时刻的波阵面为Σ，Σ面上每一点都是一个次波源，发出球面波。次波源在随后的某一时刻的包络面形成一个新的波阵面Σ’。波面的法线方向就是波的传播方向。这就是惠更斯原理。只根据惠更斯原理是不能确定衍射花样的分布的。菲涅尔在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同一光源，应该相干，因而波阵面Σ’上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波叠加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。据此我们可以建立一个单色波在传播过程中两个任意面上光振动分布之间的关系。我们现在来考察一个单色点光源M对于任意一点P的作用，如图所示。根据惠更斯-菲涅尔原理，光源M对P点的作用可以看成M与P之间的任一个波面Σ上各点所发出的次波在P点叠加的结果。如果我们不考虑时间因子tje，单色点光源M在波面Σ上任一点Q产生的光振动的复振幅可以表示为a0ejkr/R（其中a0是离点光源M单位距离处的振幅，R是波面Σ的半径）。在波面Q点取微元波面ds，则ds面元的次波源发出的次波在P点产生的复振幅可以表示为dsreReaKPdUjkrjkR0)()(式中r=QP，K(θ)为倾斜因子，表示次波的振幅随元波面法线和QP的夹角θ而变(θ称衍射角)。按照菲涅尔的假设，当θ=0时，K有最大值；随着θ的增大，K迅速减小，当θ≥π/2时，K=0。也就是说元波面法线和QP的夹角大于等于90°时，元波面对P点的振动没有贡献。此时Σ波面有效部分在P点产生的光振动的复振幅为dsreKReaPUjkrjkR)()(0这就是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。利用这一表达式原则上可以计算任意形状开孔或屏障的衍射问题。但是上述积分在一般情况下计算起来很复杂，只有在某些简单的情况下才能精确求解。对于平面波，衍射屏处各点的复振幅都相同，记此振幅为A，则dsreKAPUjkr)()(若观察屏离衍射屏很远，则θ≈0，K(θ)≈常数，所以对于平面波衍射又可近似为dsreAPUjkr)(§3-2基尔霍夫衍射公式利用惠更斯-菲涅耳衍射公式对一些简单形状的开孔的衍射现象进行计算，虽然算出的衍射光强分布与实际的结果符合的很好，但是菲涅耳衍射理论本身是不严格的。例如它勉强引入倾斜因子K(θ)，缺乏理论根据。菲涅耳原理的缺陷，可以由基尔霍夫(Kirchhoff)的衍射理论来弥补。一、基尔霍夫积分定理基尔霍夫衍射公式是用下面的方法推导的。因为光波是电磁波，其必然满足波动方程012222tucu通过对波动方程分离时间变量t，可以得到关于空间位置变量函数U(P)满足的亥姆霍兹(Helmhotz)方程0)(22Uk而自由空间单色光的复振幅也只是空间位置变量的函数，所以亥姆霍兹方程的解U一定就是自由空间单色光的复振幅。可以用格林定理求解亥姆霍兹方程。格林定理说的是：两个空间位置函数U(P)和G(P)，如果它们的一阶导数和二阶偏导数在一个封闭面S内部和封闭面S上各点是单值连续的，则有VSdSnGUnUGdVGUUG)()(22式中n表示在S面上各点沿外法线方向的方向导数。这个定理给出了把空间位置函数)(22GUUG的体积分变为面积分的关系。如果我们适当选取一个辅助函数G(P)（格林函数），就可以用格林定理解决上面的边界值问题。基尔霍夫选择的格林函数G(P)是以考察点P为中心的单位振幅的球面波的复振幅函数，即rePGjkr)(。其中r表示空间任意点到P点的距离。由于r=0是G(P)的奇点，因此要正确应用格林定理，必须使P点不包含在体积V内。为此我们作一个以P为中心，ε为半径的小球面Sε，这样格林定理在由S和Sε包围的体积内成立，于是VSSdSnGUnUGdVGUUG)()(22由于U(P)和G(P)都满足亥姆霍兹方程，所以VVdVGUkUGkdVGUUG0)()(2222从而0)(SSdSnGUnUG即SSdSnGUnUGdSnGUnUG)()(对于Sε，外法线方向指向球心，它与P点到Sε面上的矢径方向正好相反，所以rejkrrerrGnGjkrjkr)1()(在Sε面上各点，r=ε，所以jkejknG)1(对于U(P)，因其自身和其偏导数在P点连续，所以ε→0时U和nU即是它们在P点的值，对于确定的P点，它们都是有限常量，这样SjkjkPPjkjkPPjkSjkPPjkSdSnGUnUGPUdjkeeUnUedejkUnUedSejkUnUedSnGUnUG)()(4)](|[lim])1(|[lim])1(|[lim)(lim02000其中dΏ表示元立体角。所以SjkrjkrSdSrenUnUredSnGUnUGPU)]([41)(41)(这样，P点的复振幅U(P)可以由包围P点的封闭曲面S上各点的U和nU的值通过积分求出，这个式子就叫基尔霍夫积分定理。从基尔霍夫积分定理的推导过程知道，它是根据波动方程和格林定理得到的，在推导的过程中没有引入假设或近似，所以它在理论上是严格的。二、平面衍射物的基尔霍夫积分公式虽然基尔霍夫积分定理具体地表达出惠更斯-菲涅耳原理的基本概念，但不同面元的贡献所遵守的规律却比菲涅耳所假定的要复杂的多。不过，基尔霍夫证明，在大多情况下，这一定理可以化为一种近似的、但是大大简化的形式，它和菲涅耳的数学表达基本相同，但是它同时还给出了菲涅耳理论中尚未确定的那个倾斜因子K(θ)。考虑从点源P0发出的一个单色波，它通过一个不透明平面屏的一个开孔，传播到P。假定开孔的线度比波长大，但比P0和P到屏的距离都小的多。为求得P点的扰动，我们围绕P点作一个封闭面S，对它取基尔霍夫积分。封闭面S由三部分构成（见图）：开孔Σ；不透明屏的部分背照面S1；以P为中心R为半径的大球的部分球面S2。这时，基尔霍夫积分定理就可以表示为12)]([41)(41)(SSSdSnGUnUGdSnGUnUGPU式中r是P点到面元dS的距离，n表示沿积分面外法线方向的微商。这里我们碰到一个问题，就是如何确定Σ、S1、S2面上的G、nG、U、nU并将其代入上面的式子中。我们先看在S2面上的G、nG。因为RerGjkRRr|)(RrRrjkRRrrGRjrGRjkReRjknrG|)()12(|)()1()1()(当R时，则RrRrRrrjkGrGjnrG|)(|)(2)(所以在S2面上，当R时RdjkUnUeRdjkUnUGRdRjkUnUGdSjkUnUGdSnGUnUGjkRSS)()()()()(222Ω是S2面对P点所张的小于4π的立体角。我们再看在S2面上的U、nU。当R→∞时，因为U远离光源区域而无限小，从而0lim,0limnUURR但是这一条件并不能保证在R→∞时，RjkUnU)(也趋于0，从而也不能保证RdjkUnUejkR)(趋于0。为此我们需要用另外的观点分析这一积分趋于0的可能性。很明显从物理上可以假定，光辐射场并非所有时刻都存在，而是从某特定时刻t0开始由波源所产生（当然这一假定偏离了严格的单色性，我们在第一章的例题中已经分析过有限长的简谐波不是单色的），于是在tt0的任何时刻，光波场所充满的空间区域的外边界距光源中心P0的距离不超过c(t-t0)。因此如果R选择的足够大，使得我们在讨论P点的扰动时刻，还不存在S2面上的U(R)（或者说U(R)=0），当然也就不存在S2面上的U(R)对P点扰动的贡献。所以0)()(2RdjkUnUedSnGUnUGjkRS而R→∞时，)sin()cos(kRjkRejkR是一有限值，所以必有0)(limRjkUnUR上式我们称之为索末菲辐射条件。实际上我们上面的分析就是在证明点光源的索末菲辐射条件。这样P点的复振幅就变为1)]([41)(41)(SSdSnGUnUGdSnGUnUGPU由于不透明屏的遮挡，基尔霍夫假设，S1面对P点的振动也没有贡献，即U、nU都等于零，所以dSnGUnUGdSnGUnUGPUS)(41)(41)(在Σ面上，假定U、nU的分布与屏不存在时相同，即完全由入射光波在Σ面的光场决定。根据下图所示的角度关系，我们可以写出reGjkr时）（rrejkrerjkrGnGjkrjkr),cos()1)(,cos(),cos(rnrnrn其中),cos(rn是P点到Σ面某一点的矢径和该点外法线n夹角余弦。对位于P0的点光源，在Q点的复振幅为00jkrerAU时）（000000000),cos()1)(,cos(),cos(rrAejkrerjkrUnUjkrjkrrnrnrn其中),cos(0rn是P0点到Σ面某一点的矢径和该点外法线n夹角余弦。将上述各值代入基尔霍夫积分公式，得dSreQUjdSrrejAdSreerAjkerArejkdSnGUnUGdSnGUnUGPUjkrrrjkjkrjkrjkrjkrS2),cos(),cos()((12),cos(),cos(()),cos(),cos((41)(41)(41)(000)(00000rnrnrnrnrnrn0上式就成为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。U(Q)是点光源P0在Σ面Q点的复振幅。当光源为近轴点光源且离衍射屏足够远，r0与n的夹角接近180°，1),cos(0rn，从而上式可以写为dSreQUjPUjkr2),cos(1)((1)(rn虽然菲涅耳-基尔霍夫衍射公式是在点光源照明的情况下推导出来的，但是只要注意U(Q)是Σ面Q点的复振幅，其它光源的情况也是成立的。§3-3基尔霍夫衍射公式的讨论和瑞利-索末菲衍射公式一、基尔霍夫衍射公式的内在矛盾基尔霍夫衍射公式可以给出与实际符合的很好的结果。然而这个公式在理论上存在着一些矛盾。这一矛盾主要由基尔霍夫假设的边界条件违背了势场定理引起。势论中有这样一个定理：如果三维波动方程的一个解在任何非无限小的面元上U、nU都为零，则这个解一定在空间各处都为零。而基尔霍夫边界条件假定：①不透明屏后S1面上各点U、nU都为零②开孔Σ面上各点，U、nU的分布与屏不存在时相同显然基尔霍夫边界条件假定违背了势论定理，是自相矛盾的，从而造成理论上的不自洽。二、瑞利-索末菲衍射公式基尔霍夫边界条件假