点到平面的距离

3.2.4利用向量解决点到面的距离立体几何中的向量方法线面夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2),l的夹角为，sincos,auula一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。还可以用等积法求距离.OdP向量法求点到平面的距离AOdnPsin||APnAPnd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPsindAPsin||APd[一点通]用向量法求点面距离的方法与步骤：ABCD1A1B1C1DExyzB1到面A1BE的距离；如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求：ABCD1A1B1C1DExyz例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.u建立坐标系1111解:.AE=(-1,,0),AB=(0,1,-1)2设=(1,y,z)为面ABE的法向量uu11AE=0,由AB=0,得u=(1,2,2)11AB=0,1,0,1111B到面ABE的距离为ABn2d==3nABCD1A1B1C1DE例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.等体积法1111BABEEABBVV解2FEB1C1D1DCA练习1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA1练习2：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=900,AA1=,2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyzDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyz练习:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.nEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxy11(,,1),33nB(2,0,0)E答:点B到平面EFG的距离为21111.SABCNMOxyz练习5：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点，32.)3()2(;)1(的距离到平面求点的大小；求二面角证明：CMNBBCMNSBAC练习:的距离。到平面求，，，平面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290SBCDAxyz练习(用向量法求距离):如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN练习2:DMPNAxCBzy解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,a)∵、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴2(,,0)2MCaa,11(0,,)22MNaa,2(,0,0)2MAa设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC∴202nMCaxay且022aanMNyz解得22xyz,∴可取(2,1,1)m∴MA在n上的射影长2MAnadn即点A到平面MNC的距离为2a.．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．解：(1)以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)、B(2,2,0)，E(0,1,1)．FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，DE＝(0,1,1)，∴DE＝12FP＋12FB，∴DE∥平面PFB.又∵D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·FB＝0，n·FP＝0⇒x＋2y＝0，－x＋2z＝0.令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝(2，－1,1)，FD＝(－1,0,0)，∴点D到平面PFB的距离d＝|FD·n||n|＝26＝63.∴点E到平面PFB的距离为63.