角的概念推广优秀教案

第5章三角函数（教案）【课题】5．1角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题5.1角的概念推广介绍了解利用实际第5章三角函数（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间*创设情景兴趣导入问题1游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．质疑提问说明总结思考求解讨论交流理解问题引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理解角的推广的意义10*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角．旋转开始位置的射线OA叫角的始边，终止位置的射线OB叫做角的终边，端点O叫做角的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．（1）（2）说明仔细分析讲解关键点思考理解结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例第5章三角函数（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间类型经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．表示除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．引导强调引导展示强调记忆明确领会观察理解明确角的类型完成角的推广象限角可以引导学生一步步自然得出强调特殊情况30*运用知识强化练习教材练习5.1.12．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．提问巡视指导思考动手求解交流反馈学习状态巩固知识40*动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时演示操作动手操作第5章三角函数（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．*问题引导实践探究问题在直角坐标系中作出390°、−330°和30°角，这些角的终边有何关系？探究390°=30°+1×360°；−330°=30°+（-1）×360°．即390°、−330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．推广与30°角终边相同的角还有：750°=30°+2×360°；-690°=30°+（-2）×360°；1110°=30°+3×360°；-1050°=30°+（-3）×360°；…………所有与30°角终边相同的角的度数，与30°角的度数之差都恰好为360°的整数倍数．它们（包括30°角）都可以表示为30°+k360°()kZ的形式．因此，与30°角终边相同的角的集合为S｛︱30360,kkZ｝．质疑提问引导分析讲解总结思考求解领会理解明确由具体的问题实际操作引导学生一步步的体会终边相同角的含义自然得出结论50*动脑思考探索新知一般地，与角终边相同的角（包括角在内），都可以表示为360()kkZ的形式．与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为S｛︱360,kkZ｝．说明强调理解记忆强调概念的关键点55*巩固知识典型例题例1写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在−360°～720°内的角写出来：⑴60°；⑵−114°．分析首先要写出与已知角终边相同的角的集合S，然后选取质疑观察安排与知第5章三角函数（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间整数k的值，使得360k在指定的范围内．解⑴与60°角终边相同的角的集合是｛︱60360,kkZ｝．当1k时，60(1)360300；当0k时，60036060；当1k时，601360420．所以在−360°～720°之间与60°角终边相同的角为300、60和420．⑵与−114°角终边相同的角的集合是S｛︱114360,kkZ｝．当0k时，1140360114；当1k时，1141360246；当2k时，1142360606．所以在−360°～720°之间与114角终边相同的角为114、246和606．例2写出终边在y轴上的角的集合．分析在0°～360°范围内，终边在y轴正半轴上的角为90°，终边在y轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y轴正半轴、负半轴上所有的角分别是36090218090kk，360270(21)18090kk，其中kZ．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°；(2)式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180°的整数倍再加上90°．解终边在y轴上的角的集合是说明讲解说明引领分析总结讲解引领思考主动求解思考理解领会求解理解明确识点对应的例题巩固新知计算部分可以教给学生完成利用观察图像加强问题的理解强调第5章三角函数（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间S｛︱18090,nnZ｝．当n取偶数时，角的终边在y轴正半轴上；当n取奇数时，角的终边在y轴负半轴上．规范写法70*运用知识强化练习教材练习5.1.21．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：⑴405°；⑵165°；⑶1563°；⑷5421°．2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在−360°～360°范围内的角写出来：⑴45°；⑵−55°；⑶−220°45′；⑷1330°．3.写出终边在x轴上的角的集合.提问巡视指导思考动手求解交流及时了解学生知识掌握情况80*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？引导提问回忆反思交流培养学生总结反思学习过程能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节5.1；(2)书面作业：学习与训练5.1；(3)实践调查：生活中角的概念的推广实例．说明记录90