第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数12.1函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛1．逐点收敛函数列Ixxfn,，若对Ix，数列xfn都收敛，则称函数列在区间I上逐点收敛，记Ixxfxfnn,lim，称xf为xfn的极限函数．简记为Ixnxfxfn,2．逐点收敛的N定义对Ix，及0，0,xNN，当Nn时，恒有xfxfn3．一致收敛若函数列xfn与函数xf都定义在区间I上，对0,0N，当Nn时，对一切Ix恒有xfxfn，则称函数列xfn在区间I上一致收敛于xf．记为Ixnxfxfn,.4．非一致收敛00，对NnN0,0，及Ix0，使得0000xfxfn例12.1证明nnxxf在1,0逐点收敛，但不一致收敛．证明：当1,0x时，0limlimnxnnxxf，当1x时，11limnnf，即极限函数为1,11,0,0xxxf．但xfn非一致收敛，事实上，取0310。对0N，取NNn10，取1,021010nx·此时00002100nxxfxfn，即1,0,xnxfxfn5．一致收敛的柯西准则函数列xfn在I上一致收敛对0,0N，当n,mN时，对一切Ix，恒有xmnfxf6．非一致收敛的柯西准则函数列xfn在I上非一致收敛00，对NnmN00,,0，及Ix0，使得00000xfxfmn例12.2用柯西准则证明：1...2,1sinnnxxfn在ll,上一致收敛；(2)在,上非一致收敛．证明：(1）对0，取02lN，当Nnm时·对一切llx,有mlmnxmxnxmxnx211sinsin即nxxfnsin在llx,上一致收敛·(2）取0410，对0N，取0002,1nmNNn，取,200nx，则有000000000412114sin2sinsinsinmxnxxfxfmn即nxxfnsin在,x上非一致收敛·7．充要条件函数列xfn在I上一致收敛于0suplimxfxfxfnIxn·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．例12.3讨论函数列111,0110,11xnnxxnxfn的一致收敛性’解：①求极限函数．当1,0x时，0limxfxfnn，当0x时．10lim0nnff，即极限函数为1,0,00,1xxxf②nnfnfxfxfnnx021211121121sup1,0即nxfxfn（二）极限函数的性质1．连续性若满足：(1）对每一个n，xfn在区间I上都连续；(2)Ixnxfxfn,;则xf在I上连续，即0000limlimlimlimlimxfxfxfxfnxxnnnxxxx注：其逆否命题：若nf都连续，但极限函数f不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例12.3进行判断．2．可积性若满足：（1）对每一个n,xfn在区间ba,上都连续；(2）baxnxfxfn,,；则xf在ba,上可积，且bababannnndxxfdxxfdxxflimlim3．可微性若满足：(1）对每一个n，xfn在区间ba,上都连续；(2）bax,0使nxfxfn;(3）baxnxgxfn,,'.则xf在ba,上可导，且xgxf'，即xfxfdxdxfnnnn''limlim注：以上三个定理的条件仅为充分条件．4．狄尼定理若函数列xfn对每一个n,xfn都在bax,上连续，对每一点bax,，xfn为单调的，且baxxfxfnn,,lim，则xf在ba,连续的充要条件是baxnxfxfn,,．证明：充分性显然，下证必要性．（反证法）假设baxnxfxfn,,．由定义，00，对0N，Nn0及bax,0，使得0000xfxfn．特别地，当取,...,...,2,1kNk时，分别存在knk，及baxk,使得0kknkxfxf（*)并且不妨设......21knnn由已知，xfn对固定的x是单调的，不妨设为单调递增．且baxxfxfnn,,lim，即xfxfxfxfn......21．于是式（*)可写为0knkxfxfk（**)由于baxk,为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为kx，即baxxkn,lim'.因''limxfxfnn，对上述的0,00N，当Nn时．恒有0''xfxfn.特别地，有0'1'xfxfN（***)当NNnk1时，由单调性及式（**)有01knkkNkxfxfxfxfk注意到xf及xfN1的连续性，令k取极限得0'1'xfxfN．此与（***)式矛盾，即nf必一致收敛于f.二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛1．逐点收敛xun为定义在区间I上的函数列，称1,nnIxxu为函数项级数．若对Ix，级数1nnxu都收敛．则称函数项级数1nnxu在区间I上逐点收敛，称Ixxuxfn,为和函数．称nkknxuxS1为部分和函数，1nknxuxR为第n项余项函数·1nnxu逐点收敛于IxxfxSxfnn,lim2．一致收敛若IxnxfxSn,，则称函数项级数1nnxu在区间I上一致收敛于和函数xf．1nnxu一致收敛于IxnxRxfn,03．一致收敛柯西准则函数项级数1nnxu在区间I上一致收敛对0,0N，当Nn时，对任意的自然数p，及对一切Ix，恒有xuxuxupnnn...21注：由此可得到函数项级数1nnxu在区间I上一致收敛的必要条件：一般项xun一致收敛于零．逆否命题：若一般项xun不致收敛于零．则函数项级数1nnxu在区间I上必不一函数项级数收敛。4．非一致收敛柯西准则函数项级数1nnxu在区间I上非一致收敛,00对NnN0,0及0p和Ix0，使得0000020010...xuxuxupnnn例12.4讨论函数项级数0nnx在下列区间上的一致收敛性：①101,0a;②1,0.解法l（用定义）：显然xxxSnn11当10x时，xxSxfnn11lim则①naaxxxfxSnnaxnax011supsup,0,0②nnnnnnnnxxxfxSnnnaxnax1,0,011111supsup.所以，函数项级数0nnx在①一致收敛；在②1,0上非一致收敛．解法2（用柯西准则）：①因为0lim,10nnaa，对0,0N，当Nn.时，aan1于是对任意的自然数p，有aaaaaaaaxxxnpnpnnnpnnn111......112121由柯西准则，0nnx在①a,0上一致收敛．②因ennnn11lim1，所以0N，当Nn时，ennn2111．取0210e对0K，取KNn,max0，取1,1,010000pnnx，则01001021100nnnnx由柯西准则知，0nnx在10，上非一致收敛．（二）函数项级数一致收敛判别法1.M判别法若Ix,,...2,1nMxunn，而nM收敛，则xun在区间I上一致收敛，且绝对收敛．2．阿贝尔判别法若满足：(l）xun在区间I上一致收敛；(2）对固定的xv,Ixn单调，且一致有界：即存在常数M，使,,...2,1nIxMxvn，，则xvxunn在I一上一致收敛．3．狄利克雷判别法若满足：(1);,...2,1n,IxMxun1kk;(2)xvn单调且在I上一致收敛于零，则xvxunn在I上一致收敛例12.5讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：(1）,,1sinxpxnxp;(2）1,0,11xnnxnnn解：(1）因,1sinxnxnxpp，而11pnp收敛，由M判别法，,,1sinxpnnxp一致收敛(2）记1,0,1,1xnxxvnxunnnn，则nn1收敛．，从而关于bax,一致收敛，对固定xvbaxn,,单调递增且有界：exvn1，对1,0,...,2,1xn．由阿贝尔判别法知，1,0,11xnnxnnn一致收敛．（三）和函数的性质1．连续性Ixxuxfn,．若满足：(1）对每一个xunn,在区间I上连续；(2）函数项级数卜致收敛的，则和函数xf在I上连续，即000limxfxuxfnxx.注：逆否命题：若xun都连续，而和函数f不连续，则必不一致收敛．2．可积性baxxuxfn,,条件同上，则xf在ba,上可积，且babandxxudxxf3．可微性Ixxuxfn,．满足：(l）对每一个xuxunn',,在区间I上连续；(2）存在Ix0，使0xun收敛；(3）xun'在I上一致收敛．则xf可导，且Ixxun,'注：以上条件仅为充分条件．4．狄尼定理若对每一个xunn,在区间I上连续且非负，Ixxuxfn,，则xf连续xun在I上一致收敛．证明：充分性显然，下面证明必要性．由于对每一个xunn,在区间I上连续且非负，所以nkknxuxS1在I上连续，且关于n是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得