高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题26数列通项公式的求解策略含解析

【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。【方法点评】方法一数学归纳法解题模板：第一步求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的.例1若数列na的前n项和为ns，且方程20nnxaxa有一个根为ns－1，n=1,2,3..(1)求12,aa；（2）猜想数列nS的通项公式，并用数学归纳法证明试题解析：解：（1）1211,26aa（2）由2(1)(1)0nnnnSaSa知2210nnnnSSaS1(2)nnnaSSn代入2210nnnnSSaS1210nnnSSS(2)n………（）【变式演练1】已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。由此可知，当1nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。【变式演练2】把数列{21n}（Nn）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，进行摆放，即（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），（45，47），则第104个括号内各数之和为（）A．2072B．2060C．2048D．2036【答案】A【解析】试题分析：该摆放具有周期性，周期为4，即一个周期内有4个括号，而第104个括号位于第26个周期内，又第一个周期中最后一个数为21，第二个周期最后一个数为41，第三个周期最后一个数为81，易知每个周期的最后一个数依次构成以21为首项，公差为20的等差数列，由此可得第104个括号内的最后一个数为521，由此得第104个括号内的四个数为515、517、519、521.考点：归纳推理的应用。方法二nS法使用情景：已知()()nnnSfaSfn或解题模板：第一步利用nS满足条件p，写出当2n时，1nS的表达式；第二步利用1(2)nnnaSSn，求出na或者转化为na的递推公式的形式；第三步根据11aS求出1a，并代入{}na的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据1a和{}na的递推公式求出na.例2已知数列na的前项和为nS，若=24nnSa，nN，则na（）A．12nB．2nC．-12nD．-22n【答案】A【解析】考点：递推关系式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系、等比数列的性质等知识的应用，本题的解答中利用递推关系式，两式相减可得122nnnaaa，即12nnaa，所以得到数列na是首项为，公比是的等比数列是解答问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．【变式演练3】已知数列na的前项和为nS，若=2-4nnSanN，，则=na（）A.12nB.2nC.-12nD.-22n【答案】A.【解析】试题分析：111124(24)2nnnnnnnaSSaaaa，再令1n，∴111244Saa，∴数列{}na是以4为首项，2为公比是等比数列，∴11422nnna，故选A.考点：本题主要考查数列的通项公式.【变式演练4】在数列{}na中，11a，)(21......321321Nnannaaaann（1）求数列{}na的通项na；（2）若存在*nN，使得(1)nan成立，求实数的最小值.【答案】（1）21,123,2nnnann；(2)13方法三累加法使用情景：型如1()nnaafn或1()nnaafn解题模板：第一步将递推公式写成1()nnaafn；第二步依次写出121,,nnaaaa，并将它们累加起来；第三步得到1naa的值，解出na；第四步检验1a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例3数列na满足11a，对任意的*nN都有naaann11，则201621111aaa（）A、20152016B、40322017C、40342017D、20162017【答案】B【解析】试题分析：∵11naann，∴11naann，即212aa，323aa，…，naann1，等式两边同时相加得naan4321，即12341234naann12nn，则1112121nnnnan，∴12320161111111112122320162017aaaa40322017，故选：B.考点：数列求和.【思路点晴】本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键．在求数列前项和之前，必须先求出其通项公式，根据通项公式的特征决定采用何种方法，根据数列的递推公式nfaann1，可利用累加法求出数列的通项公式，根据1112121nnnnan结合裂项法进行求和即可．【变式演练5】在数列{na}中，1a=1，11nnaan(n=2、3、4……)，求{na}的通项公式。【答案】222nnna【变式演练6】已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，求an.【答案】312nan方法四累乘法使用情景：型如1()nnafna或1()nnaafn解题模板：第一步将递推公式写成1()nnafna；第二步依次写出211,,nnaaaa，并将它们累加起来；第三步得到1naa的值，解出na；第四步检验1a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例4已知数列na满足nnnaannaa求,1,3211【答案】nan32【变式演练7】已知数列{na}中，1a=1，nnnaa21（n)N，则数列{na}的通项公式为（）A．12nnaB．nna2C．2)1(2nnnaD．222nna【答案】C【解析】试题分析：1231132411231222222nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa,即1111231222112222nnnnnnnnnaaaa．故C正确．考点：1累乘法求通项公式；2等差数列的前项和．方法五构造法一使用情景：型如1nnapaq（其中,pq为常数，且(1)0,pqp）解题模板：第一步假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系数法，解得1qtp；第三步写出数列{}1nqap的通项公式；第四步写出数列na通项公式.例5已知数列{na}满足1a=1，1na=21na(nN)，求数列{na}的通项公式。【答案】na=21n【变式演练8】如题图，已知点D为ABC的边BC上一点，3BDDC，()nEnN为边AC上的列点，满足11(32)4nnnnnEAaEBaED，其中实数列na中10,1naa，则na的通项公式为（）A．1322nB．21nC．32nD．1231n【答案】D【解析】试题分析：因为3BDDC，所以1433nnnECEBED．设nnmECEA，则由114nnnEAaEB－(32)nnaED，得11134nma，4(32)3nma，所以111(32)44nnaa，所以113(1)nnaa．因为112a，所以数列{1}na是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123nna，所以1231nna，故选D．考点：1、向量的加减运算；2、等比数列的定义及通项公式．【变式演练10】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.【答案】an＝2n＋1－3.方法六构造法二使用情景：型如1nnapaqnr（其中,pq为常数，且(1)0,pqp）解题模板：第一步假设将递推公式改写为1(1)()nnaxnypaxny；第二步由待定系数法，求出,xy的值；第三步写出数列{}naxny的通项公式；第四步写出数列na通项公式.例6已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。【答案】42231018nnann21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。例7已知数列{}na中的12,aa分别为直线2+20xy-=在轴、y轴上的截距，且212nnnnaaaa++-=+，则数列{}na的通项公式为．【答案】()314nn--.【解析】试题分析：由已知得：121,2aa，已知条件可化为2123nnnaaa，设211nnnnaxayaxa，可化为：21nnnayxaxya，则23yxxy，解得：31yx，即2113nnnnaaaa，所以数列1nnaa是以为首项，为公比的等比数列，则13nnnaa．两边同时除以13n转化为：111111111333334334nnnnnnnnaaaa，即数列134nna是以112为首项，13为公比的等比数列，所以113111111134123341234nnnnnnnnnaaa．考点：1.等比数列的通项公式；2.构造等比数列．【方法点晴】本题主要考察的是等比数列的通项公式和根据递推数列构造等比数列，属于难题．本题两次构造等比数列，首先设211nnnnaxayaxa，再根据已知条件2123nnnaaa确定,xy的值，构造数列1nnaa为等比数列；第二，根据13nnnaa，两边同时除以13n得数列134nna为等比数列，从而得解．因为两次构造等比数列，做题过程中要注意认真计算，否则容易出现错误．【变式演练11】设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.【答案】an＝2·3n－n－1.【变式演练12】已知数列{}na中112a，函数2()1xfxx．（1）若正项数列{}na满足1()nnafa，试求出2a，3a，4a，由此归纳出通项na，并加以证明；（2）若正项数列{}na满足1()nnafa（n∈N*），数列{}nb的前项和为Tn，且21nnnab，求证：12nT．【答案】（1）234248,,359aaa，11212nnna；（2）证明见解析．【解析】3224()()35afaf，4348()()59afaf，…，也可把1()nnafa变形为1111121nnaa，由累乘法得：11111121nnaa，从而得11112nna，即11212nnna，最终有112121212nnnnnnab112(12)(12)nnn1111212nn，这样nT可用裂项相消法求出（放缩后），证得结论．试题解析