西工大研究生课程高超声速气动热力学习题

高超声速气动热力学试题一、什么是高超声速流？说明高超声速流动具有哪些特征？高超声速流是速度远大于声速的流动，通常用自由流马赫数𝑀𝑎∞大于5作为高超声速流的一种标志，这种𝑀𝑎∞的界限不是很绝对的，流动是否是高超声速流还与飞行器的具体形状有关。对于钝体，𝑀𝑎∞3就开始出现高超声速流的特征；而对于细长体，𝑀𝑎∞要高达10时才开始出现高超声速流动的特征。飞行问题的“高超声速”是极大的流体速度造成的，而地面设备的“高超声速”则往往是极低的声速实现的。除去高马赫数外，高超声速流还具有以下特点：(1)小密度比和薄激波层。自由流马赫数越大，激波越强，激波后气体受到的压缩越大，激波前后的密度比是小量。激波与物体间的流动区域称为激波层，由质量守恒定律可知，激波贴近物面。(2)粘性效应强，可支配整个流场。在高空、高超声速条件下，层流边界层厚度δ变得很大，改变了物体的有效外形，影响了外部无粘流的计算。尤其是高超声速激波边界层薄，边界层厚度与激波层相比不能略去，甚至还会出现整个激波层都有粘性的情况。边界层变厚对无粘流产生影响，无粘流的变化又反过来影响边界层的增长，出现了高超声速流的粘性相互作用。这时经典的普朗特边界层理论失效。(3)存在高熵层。高超声速飞行器都做成钝头体，即使是细长飞行器也做成微钝头细长体，这是因为根据层流边界层方程的自相似解，头部驻点处的对流传热与头部曲率半径的平方根成反比，将头部钝化可以减轻热载荷。所以绕钝体细长体的高超声速流动中，环绕头部的激波是高度弯曲的。穿过曲线激波不同位置的流线经历了不同的熵增，于是具有强熵梯度的气体层将覆盖在物体表面上构成熵层，并伸展到头部下游相当大的距离。由经典的可压缩流的克罗柯(Crocoo)定理：𝐯×(∇×𝐯)=−T∇S式中∇×𝐯表示速度场𝐯的旋度，∇S表示熵S的梯度，T为温度，∇为微分算子，上式表示具有强熵梯度的熵层与强旋度联系在一起。由于边界层沿物面增长，进入边界层外缘不同位置流线的增值不同，边界层外缘特性受熵层的影响，出现了旋涡相互作用。(4)高超声速流动是高能流动，存在高温效应。当高超声速气流通过激波压缩或粘性阻滞而减速时，部分有向运动的动能转化为分子随机运动的能量，即气体的温度增加了。这种温升可以大到气体呈现“非完全气体”的模式，传统的完全气体假设不再成立。在空气温度低于800K的常温条件下，只需要考虑气体分子的移动和转动自由度的激发。当温度超过800K时，气体分子的振动自由度被激发。由于分子振动能随温度T的变化关系很复杂，使得𝐶𝑝和𝐶𝑣成为温度的函数。称比热容比γ只取决于温度的气体为热完全气体，称比热容比γ为常数的气体为量热完全气体。对于高温气体流动，比热容比不再是常数，这个参数在高温气体动力学中的地位远没有在一般的气体动力学中重要。上述现象被称为高温效应。(5)高空、高超声速流动存在低密度效应。现代高超声速飞行器在大气密度很低的高度持续飞行，低密度效应对空气动力的影响很重要。当飞行高度极高的时候，密度可以低到分子的平均自由程（分子与相邻分子碰撞之间分子移动的平均距离）与飞行器的特征长度具有相同的量级。空气介质不再呈现连续性，必须采用和连续流完全不同的方法来研究这种流动，通常用分子运动论的技术来处理。当与飞行器表面相撞后由表面反射的分子与入射分子不发生相互作用时，这种流动被称为自由分子流。当飞行高度下降到一定高度，尽管连续介质的控制方程近似成立，但物面处的边界条件必须进行修正。低密度时物面处的流动速度不为零，应取一定大小的值，称为速度滑移条件。与此相似，壁面处的气体温度也不同于壁温，称此为温度跳跃条件。另外，高空低密度时，激波本身的厚度变大，通常对激波所作的间断面假设不再有效，经典的Rankine-Hugoniot激波关系式必须进行修正。这些都是低密度时重要的物理现象。二、什么是马赫数无关原理？推导证明马赫数无关原理。高超声速气流流经厚的物体或钝头体时，常在头部形成脱体激波，马赫数增加到一定程度之后，脱体激波的形状变化不大，当来流马赫数很大时，高超声速流流场的某些特性趋向于与马赫数无关。这种情况称为高超声速流动极限状态或称为马赫数无关原理。高超声速完全气体无粘流的控制方程为欧拉(Euler)方程。连续方程：𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)𝜕𝑦=0x方向动量方程：𝜌𝜕𝑢𝜕𝑡+𝜌𝑢𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜌𝑣𝜕𝑢𝜕𝑦=−𝜕𝑝𝜕𝑥y方向动量方程：𝜌𝜕𝑣𝜕𝑡+𝜌𝑢𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜌𝑣𝜕𝑣𝜕𝑦=−𝜕𝑝𝜕𝑦能量方程：𝜕𝜕𝑡(𝑝𝜌𝛾)+𝑢𝜕𝜕𝑥(𝑝𝜌𝛾)+𝑣𝜕𝜕𝑦(𝑝𝜌𝛾)=0式中u,v分别表示速度V沿坐标x方向和y方向的分量，p,𝜌为压力和密度，γ为比热容比。能量方程表示量热完全气体的等熵过程，即沿流线𝑝𝜌𝛾=常数。定义无因次量𝑥̅=𝑥𝐿,𝑦̅=𝑦𝐿,𝑢̅=𝑢𝑉∞𝑣̅=𝑣𝑉∞,𝑝̅=𝑝𝜌∞𝑉∞2,𝜌̅=𝜌𝜌∞式中L为物体特征尺度，𝜌∞，𝑉∞分别表示自由来流的密度和速度。假设流动定常(𝜕𝜕𝑡=0)得到无因次控制方程为：𝜕(𝜌̅𝑢̅)𝜕𝑥̅+𝜕(𝜌̅𝑣̅)𝜕𝑦̅=0𝜌̅𝑢̅𝜕𝑢̅𝜕𝑥̅+𝜌̅𝑣̅𝜕𝑢̅𝜕𝑦̅=−𝜕𝑝̅𝜕𝑥̅𝜌̅𝑢̅𝜕𝑣̅𝜕𝑥̅+𝜌̅𝑣̅𝜕𝑣̅𝜕𝑦̅=−𝜕𝑝̅𝜕𝑦̅𝑢̅𝜕𝜕𝑥̅(𝑝̅𝜌̅𝛾)+𝑣̅𝜕𝜕𝑦̅(𝑝̅𝜌̅𝛾)=0物面上的边界条件是：𝑽∙𝒏=0即流动与物面相切。式中n是物面的单位法向矢量。如果用𝑙𝑥,𝑙𝑦表示法向矢量n的方向余弦，则物面边界条件为𝑢𝑙𝑥+𝑣𝑙𝑦=0用无因次量表示时𝑢̅𝑙𝑥+𝑣̅𝑙𝑦=0激波处的边界条件由是：𝑝2𝑝∞=1+2𝛾𝛾+1(𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝜌2𝜌∞=(𝛾+1)𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽(𝛾−1)𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽+2𝑢2𝑉∞=1−2(𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)(𝛾+1)𝑀∞2𝑣2𝑉∞=2(𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝑐𝑡𝑔𝛽(𝛾+1)𝑀∞2式中𝑀∞为来流马赫数，β为激波角，γ为比热容比。用上面的无因次量表示激波关系式，并注意到𝑝̅2=𝑝2𝜌∞𝑉∞2=𝑝2𝑝∞𝑝∞𝜌∞𝑉∞2=𝑝2𝑝∞1𝛾𝑀∞2得到无因次激波边界条件是𝑝̅2=1𝛾𝑀∞2+2𝛾+1(𝑠𝑖𝑛2𝛽−1𝑀∞2)𝜌̅2=(𝛾+1)𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽(𝛾−1)𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽+2𝑢̅2=1−2(𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)(𝛾+1)𝑀∞2𝑣̅2=2(𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝑐𝑡𝑔𝛽(𝛾+1)𝑀∞2当𝑀∞2𝑠𝑖𝑛2𝛽→∞时，激波边界条件为𝑝̅2→2𝑠𝑖𝑛2𝛽𝛾+1𝜌̅2→𝛾+1𝛾−1𝑢̅2→1−2𝑠𝑖𝑛2𝛽𝛾+1𝑣̅2→𝑠𝑖𝑛2𝛽𝛾+1在𝑀∞趋于无穷的极限条件下，以及在高马赫数时，无因次方程的解与马赫数无关。下图是马赫数无关原理的实例，从图中看出马赫数超过5时，阻力系数对马赫数不敏感。对于公式中的组合变量𝑀∞𝑠𝑖𝑛𝛽，对于给定的马赫数，钝体的组合变量𝑀∞𝑠𝑖𝑛𝛽值大于细长体，因此钝体绕流趋于马赫数无关的𝑀∞比细长体要低。图1高超声速马赫数无关原理实例需要说明的是，与马赫数无关的是一些无因次量。有些有因次量并非与马赫数无关。事实上，当𝑀∞→∞时，𝑝→∞。此外，𝑝𝑝∞虽然是无因次量，但也与马赫数有关。利用马赫数无关原理，人们可以把较低马赫数的实验结果推广至较高马赫数使用。马赫数无关原理在强激波条件时成立，它既与自由来流马赫数有关，也与物体形状有关。马赫数无关原理由无粘流方程导出，适用于无粘流。对于𝑅𝑒105时的钝体或大迎角细长流绕体，压力远大于粘性力，这时马赫数无关原理可以推广使用。三、写出高超声速流激波关系式由气体动力学可知通用的斜激波关系式：图2一般斜激波关系𝑝2𝑝1=1+2𝛾𝛾+1(𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝜌2𝜌1=(𝛾+1)𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽(𝛾−1)𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽+2𝑢2𝑉1=1−2(𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)(𝛾+1)𝑀12𝑣2𝑉1=2(𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝑐𝑡𝑔𝛽(𝛾+1)𝑀12式中，β为激波角，γ为比热容比，𝑢,𝑣分别是速度的流向和横向向量。对于高超声速流，上面的激波关系式简化为：𝑝2𝑝1→2𝛾𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽𝛾+1𝜌2𝜌1→𝛾+1𝛾−1𝑢2𝑉1→1−2𝑠𝑖𝑛2𝛽𝛾+1𝑣2𝑉1→𝑠𝑖𝑛2𝛽𝛾+1𝑇2𝑇1=𝑝2𝑝1⁄𝜌2𝜌1⁄→2𝛾(𝛾−1)(𝛾+1)2𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽定义压力系数𝐶𝑝=𝑝2−𝑝1𝑞1式中𝑞1=12𝜌1𝑉12=𝛾2𝑝1𝑀12因此𝐶𝑝=2𝛾𝑀12(𝑝2𝑝1−1)，将斜激波关系式代入上式可得，𝐶𝑝=4𝛾+1(𝑠𝑖𝑛2𝛽−1𝑀12)在𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽≫1的条件下，𝐶𝑝→4𝛾+1𝑠𝑖𝑛2𝛽当气流转折角θ、来流马赫数𝑀1已知时，激波角可以由激波处的速度三角形确定：𝑡𝑎𝑛𝜃=𝑣2𝑉1⁄𝑢2𝑉1⁄=2(𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝑐𝑡𝑔𝛽(𝛾+1)𝑀121−2(𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)(𝛾+1)𝑀12=2(𝑀12𝑠𝑖𝑛2𝛽−1)𝑐𝑡𝑔𝛽(𝛾+𝑐𝑜𝑠2𝛽)𝑀12+2这就是平面斜激波的𝜃−𝛽−𝑀关系。当𝜃≪1时，在高超声速条件下也有β≪1，这时上式化为：θβ=2(𝑀12𝛽2−1)𝑀12(𝛾+1)+2解得，β=(𝛾+14+12𝑀12)θ±√(𝛾+14+12𝑀12)2𝜃2+1𝑀12略去高阶小量可得，β=𝛾+14𝜃+√(𝛾+14)2𝜃2+1𝑀12在𝑀1𝜃≫1的情况下，𝛽𝜃→𝛾+12对于常温空气，γ=1.4，则有β→1.2θ在极高温度下各种内部自由度激发，𝐶𝑣增大，γ→1，则有β→θ四、什么是牛顿压力公式？阐述为什么牛顿压力公式适用于高超声速流？牛顿假设流动介质是一系列均布的、彼此无关的质点组成。这些质点与物面碰撞后相对于物面的法向动量损失转化为对物体的作用，面切向动量不变。这就是牛顿碰撞理论，如图所示。图3牛顿流模型由图可见，(法向速度的改变)=𝑉∞𝑠𝑖𝑛𝜃(入射到面积为A的板上的质量通量)=𝜌∞𝑉∞𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃(动量的改变率)=(𝜌∞𝑉∞𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃)(𝑉∞𝑠𝑖𝑛𝜃)=𝜌∞𝑉∞2𝐴𝑠𝑖𝑛2𝜃由牛顿第二定律可知，动量的时间变化率等于作用于物面上的力F，即𝐹=𝜌∞𝑉∞2𝐴𝑠𝑖𝑛2𝜃牛顿假设粒子流中粒子彼此不存在相互作用，并且没有随机运动。考虑粒子的随机运动后，𝐹𝐴应视为当地静压力p与自由流静压力𝑝∞之差，由流体的动量关系式𝑝∞+𝜌∞𝑣∞2𝑠𝑖𝑛2𝜃=𝑝+𝜌𝑣𝑛2式中𝜌𝑣𝑛2为物面处法向动量流量，它为0，则，𝐹𝐴=𝑝−𝑝∞=𝜌∞𝑣∞2𝑠𝑖𝑛2𝜃压力系数𝐶𝑝为，𝐶𝑝=𝑝−𝑝∞12𝑝∞𝑣∞2=2𝑠𝑖𝑛2𝜃上式是压力系数的牛顿正弦平方律。实际流体可视为一系列相互作用且连续分布的流体质点组成，扰动可以通过流体质点向四周传播。将牛顿碰撞理论应用于低速、亚声速、跨声速和中等超声速流动式不成功的。例如对于小扰动情况，升力系数𝐶𝑦为不可压平板翼型绕流𝐶𝑦=2𝜋𝛼亚声速平板翼型绕流𝐶𝑦=2𝜋𝛼√1−𝑀∞2超声速二维翼型绕流𝐶𝑦=4𝛼√𝑀∞2