第三讲--P-S-N曲线-疲劳统计学

1第三讲p-S-N曲线，疲劳统计学前节回顾基本S-N曲线，三个区域S-N曲线的数学表达疲劳极限Sf的近似估计Sf=kSb等寿命疲劳Gerber抛物线模型，Goodman直线模型，Soderberg直线模型等寿命疲劳曲线图影响疲劳性能的若干因素荷载形式、尺寸效应、表面光洁度的影响、温度和环境的影响应力集中的影响，缺口系数：理论弹性应力集中系数、疲劳缺口系数、缺口敏感系数1．疲劳数据的分散性S-N曲线为中值曲线，一般对同一应力水平实验点有分散性，其分散性与材料、应力水平、环境等相关。某铝合金构件的疲劳实验应力水平（MPa）件数寿命±207572106～1108±240297105～4106±275341105～8105±310294104～1105±430251.5104～21042应力水平低则寿命长，分散性也大，在同样应力水平下，疲劳寿命可以相差几十到几百倍。2．p-S-N曲线p-S-N曲线是组成不同成活率p下的S-N曲线集，这一曲线集给出了：1）在给定应力水平下失效循环次数N的分布数据；2）在给定的有限寿命下疲劳强度S的分布数据；3）无限寿命或NNL的疲劳强度－疲劳极限的分布数据。p-S-N曲线由成组实验获得。p-S-N曲线在有限寿命段（103N106）在双对数坐表系上近似为直线。3．疲劳寿命与疲劳强度概率分布之间的关系疲劳破坏是疲劳损伤逐渐累积的结果，材料中宏观或微观的不可逆变形是疲劳损伤的主要形式。lgNSlgNSp=0.99p=0.53疲劳寿命概率分布：在给定疲劳强度下构件的疲劳寿命概率分布形式。一般可由疲劳实验获得。疲劳强度概率分布：在给定疲劳寿命下构件的疲劳强度概率分布形式。设在一疲劳荷载作用下，构件在给定疲劳强度S*下的疲劳寿命N的概率分布密度为f(nS*)，而在给定疲劳寿命N*下的疲劳强度S的概率分布密度为g(sN*)，则可以证明dsNsgdnSnfSN)()(**0*0*即在给定的疲劳强度S*下疲劳寿命N小于或等于N*的概率与在给定的疲劳寿命N*下疲劳强度S小于或等于S*的概率相等。令：dsNsgpS)(0，则有：dnSnfpN)(0对S求偏导，有：dnSnfSNSgN)()(0上式即为由给定疲劳强度S下的寿命分布求给定寿命N下疲劳强度分布的表达式。4．疲劳数据处理常用分布函数分布函数的确定N*S*SN4对于给定循环应力水平的一组试样所得到的疲劳寿命，如将实验数据在某种概率纸上的分布基本呈线性，则构件的疲劳寿命服从该分布。概率统计名词随机变量：取值随偶然因素变化但遵从一定概率分布规律的变量母体：所有可能观测结果的总和样本：从母体中提取的一部分样品样本特征数：样本均值：nkkxnx11样本方差：nkkxxns122)(11样本标准差：nkkxxns12)(111）正态分布（Gaussian分布）密度函数和分布函数正态分布的密度函数为：222)(exp21)(xxf，（－x）μ：母体均值σ：母体标准差f(x)表示随机变量X取值为x的频繁程度。密度函数是f(x)Xxμ5关于x=μ的对称函数21)(f母体标准差越小，则在x=μ附近取值的可能性越大。一般，概率密度函数具有以下性质a)0)(xfb)1)(dxxf正态分布函数为：dxxdxxfxFxx222)(exp21)()(分布函数F(x)表示随机变量X取值小于等于x的概率。随机变量X取值大于x的概率为1-F(x)。2）标准正态分布令：)(xu得到u的密度函数为221exp21)()(ududxxfu，（－x）即：u服从均值μ＝0，标准差σ＝1的正态分布。标准正态分布函数xuuu221exp21)(6标准正态分布特性Φ(0)=0.5;Φ(u)=1-Φ(u)p(aub)=Φ(b)–Φ(a)变换是一一对应，因此随机变量Xx的概率等于随机变量Uu的概率F(x)=Pr(Xx)=Pr(Uu)=Φ(u)只需求出标准正态分布函数Φ(u)即可求出正态分布函数F(x)。标准正态分布函数Φ(u)可查表得出正态函数分布值uΦ(u)100uΦ(u)100uΦ(u)100uΦ(u)100-3.7190.01-1.28210.000.25360.002.00097.72-3.0900.10-1.00015.870.52470.002.32699.00-3.0000.13-0.84220.000.84280.003.00099.87-2.3261.00-0.52430.001.00084.133.09099.90-2.0002.28-0.25340.001.28290.003.71999.99-1.6455.00050.001.64595.003）对数正态概率坐标纸以lgN作为横坐标，F(x)为纵坐标的坐标纸，如在某一应力水平下的实验数据在该坐标纸上的分布接近线性，则对数疲劳寿命服从正态概率分布。由疲劳试验数据样本Ni，xi=lgNi，则与xi对应的破坏概率为1nipfφ(u)Φ(u)1-Φ(u)uuX7某铝合金构件的疲劳实验数据4)给定疲劳寿命下的破坏概率问题：在给定应力水平下，寿命为N时的破坏概率（或存活率）设对数疲劳寿命服从正态分布，则只需由样本的观测数据求出样本的均值x和标准差s并作为母体均值和标准差的估计值，即可求出给定破坏率（存活率）下构件的寿命或给定寿命下的破坏率。破坏概率为pf的对数疲劳寿命xp为ppuxsuxxppup：与破坏概率为pf对应的标准正态偏量则破坏概率pf=Pr(Xx)=Φ(up)，存活概率为1pf例：在某给定应力水平下测得一组（10件）试样的疲劳寿命为：160，181，134，140，135，138，147，154，166，124千周，试确定存活率为99.9%的安全寿命。8解：将试验结果从小到大列于下表中，并计算xi、xi2、pf值iNixi=lgNipf=i/(n+1)11242.09340.090921342.12710.181831352.13030.272741382.13990.363651402.14610.454561472.16730.545571542.18750.636481602.20410.727391662.22010.8182101812.25770.9091Σ21.67351）样本的均值和标准差1674.211nkkxnx05.0)(1112nkkxxns2）确定标准正态偏量up破坏概率：pf=1-0.999=0.001=0.1%由表查出：up=-3.093）估计破坏率为0.1%的寿命013.205.009.31674.2suxxpp10310pxpN（千周）2．威布尔分布WaloddiWeibull于1951年提出，已得到广泛应用。91）威布尔分布的密度函数babaaNNNNNNNNNNbNf001000exp)(，(NN0)N0、Na和b为描述威布尔分布的三个参数。N0：寿命下限，或最小寿命参数。Na：尺度参数，即横坐标的尺度大小，反映数据的分散性。b：形状参数b=1，指数分布；b=2，瑞利分布；b=3.5～4，接近正态分布。2）威布尔分布函数dNNNNNNNNNNNbdNNfNFbabaNNaNN001000exp)()(00baNNNN00exp1（三参数威布尔分布函数）N=N0，F(N0)=0，即疲劳寿命小于N0的破坏概率为零。N=Na，F(Na)=0.632，与其它参量无关，Na称为特征参数。或写为：baNNNNNF00exp)(11则：)lg(lglg)(lg)](1[lglg001NNbeNNbNFa变量lglg[1-F(N)]1与lg(N-N0)为线性关系10威布尔概率坐标纸以lg(N-N0)作为横坐标，lglg[1-F(N)]1为纵坐标的坐标纸，如在某一应力水平下的实验数据在该坐标纸上的分布接近线性，则服从威布尔分布。例：试判断下表中所列的两组疲劳寿命数据是否服从威布尔分布并估计其威布尔参数iA组，N(105)B组，N(105)F(Ni)=i/(n+1)12.04.00.11123.75.00.22235.06.00.33348.07.30.444511.58.00.556613.09.00.667720.010.60.778823.513.00.889解：1）将数据按Ni由小到大排序并计算F(Ni)2）估计N0，0N0N1，一般N0需多次取值在坐标纸上试描，取最接近线性分布的N0值。对于A组数据，试取N0=0，将数据试描于威布尔概率坐标纸上。对于B组数据，试取N0=2105，将数据试描于威布尔概率坐标纸上，两组数据基本服从威布尔分布。3）分布参数的确定特征参数对应的破坏概率为63.2%，由图得到A组：Na-N0=11.510511Na=11.5105B组：Na-N0=6.8105Na=8.8105F(N)=0.9lglg[1-F(N)]=0，则)lg()lg(lglg)9.01lg(lg001NNNNebaA组N-N0=23.5105，则b=1.17类似可求出B组b=1.733．线性回归分析问题：如何用直线拟合一组数据，如何判断一组数据可以用直线拟合来描述1）相关关系和回归方程变量间的两类关系确定关系：一一对应关系，一般可以用函数式表达相关关系：对变量X，Y无确定值与其对应，而是某种形式的概率分布及特征数设随机变量X、Y存在相关关系，X取值为x时，Y的数学期望是x的函数12)()(xfxXYE母体的期望值一般通过样本数据求其估计值)(~xfy上式即为Y对X的回归方程，如回归方程是线性的，则BxAy~回归分析的目地：寻找可以描述随机变量之间关系的近似表达式考查随机变量间相关关系的密切程度检验回归方程的可用性2）最小二乘法拟合回归方程设由实验结果获得的n对数据(xi，yi)组成一个样本，在直角坐标系中有图示散点图，散点图可直观反映随机变量X、Y是否可用线性拟合。回归方程中的系数由最小二乘法确定。令回归方程给出的估计值iy~与样本实际观测值iy的偏差平方和最小2121)()~(iiniiniiyBxAyyQ0AQ，0BQ令：ixnX1，iynY1XY13nxxLiixx22nyyLiiyy22nyxyxLiiiixy可求出A、B值为xxxyLLB，XBYA3）相关系数，相关关系检验相关系数定义为：yyxxxyLLLr相关系数|r|1。|r|=1完全相关，|r|=0完全不相关完全相关完全不相关相关系数反映了变量X、Y间相关的密切程度，|r|越接近1，相关性越好。一般，相关系数应满足|r|rαXYYX14rα：相关系数的起码值，与显著水平α（接受回归方程而出现错误的概率）有关。n-2αn-2αn-2α5%1%5%1%5%1%10.9971.000110.5530.684210.3250.41820.9500.990120.5320.661220.3040.39330.8780.959130.5140.641230.2880.37240.8110.917140.4970.632240.2730.35450.7540.874150.4820.606250.2500.32560.7070.834160.4680.590260.2320.30270.6660.798170.4560.575270.2170.28380.6320.76518