隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定理及其应用§18.1隐函数1．设函数满足(,)Fxy(1)在区域，00:Dxaxxa−≤≤+00ybyyb−≤≤+上连续；(2)；00(,)0Fxy=(3)当x固定时，函数是(,)Fxyy的严格单调函数；则可得到什么结论？试证明之.2．方程在原点附近能否用形如2sin()0xyxy++=()yfx=的方程表示？又能否用形如()xgy=的方程表示？3．方程在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有连续导数的函数222(,)(1)0Fxyyxx=−−=()yfx=.4．证明有唯一可导的函数满足方程()yyx=sinsinhyx+=，并求出导数'()yx，其中sinh2yyeey−−=.5．方程在点的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两个变量的函数.ln1xzxyzye++=0(0,1,1)P6．设f是一元函数，试问f应满足什么条件，方程2()()()fxyfxfy=+在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的为yx的函数.7．设有方程：()xyyϕ=+，其中(0)0ϕ=，且当aya−时，'()1ykϕ≤.证明：存在0δ，当xδδ−时，存在唯一的可微函数()yyx=满足方程()xyyϕ=+且.(0)0y=§18.2隐函数组1．试讨论方程组2221,22xyzxyz⎧+=⎪⎨⎪++=⎩在点的附近能否确定形如0(1,1,2)P−()xfz=，()ygz=的隐函数组.2．求下列函数组的反函数组的偏导数：(1)设cos,sinyyuxvxxx==，求,,,xxyyuvuv∂∂∂∂∂∂∂∂；(2)设，求sin,cosxxuexyvexy=+=−,,,xxyyuvuv∂∂∂∂∂∂∂∂.3．设2xur=，2yvr=，2zwr=，其中22rxyz2=++.(1)试求以为自变量的反函数组；,,uvw(2)计算(,,)(,,)uvwxyz∂∂.4．设,iifϕ连续可微，且1(,iFx1122)((),(),nixfxxϕϕ=())nnxϕ….求(1,2i=,n)1212(,,)(,,)nnFFFxxx∂∂.5．据理说明：在点(0,1)附近是否存在连续可微函数(,)fxy和g(,)xy满足，且(0,1)1,(0,1)1fg==−[][]33(,)(,)0,(,)(,)0.fxyxgxyygxyyfxyx+−=+−=6．设(,,,),(,,)0,(,)0.ufxyztgyzthzt=⎧⎪=⎨⎪=⎩在什么条件下u是,xy的函数？求,uuxy∂∂∂∂.7．设函数由方程组()uux=(,,),(,,)0,(,,)0ufxyzgxyzhxyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩所确定，求22,dududxdx.8．设满足方程组(,)zzxy=(,,,)0,(,,,)0.fxyztgxyzt=⎧⎨=⎩求.dz9．设(,,(,,)0.ufxutyutzutgxyz=−−−⎧⎨=⎩),求,uuxy∂∂∂∂.这时是自变量还是因变量？t10．设0000(,,,)xyzu满足方程组()()()(),(,)()()(),(,)()()().fxfyfzFugxgygzGuhxhyhzHu++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点的邻域内确定,,xyz作为u的函数的充分条件；(2)在2(),(),()3fxxgxxhxx===的情形下，上述条件相当于什么？11．设,,11uuxuyzuvuw===++，取为新的自变量，为新的因变量，变换方程,uvw22zz2xyzxy∂∂+=∂∂.§18.3几何应用1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程。(1)22sin,sincos,cosxatybttzc===t,在点4tπ=；(2)22222239,32xyzzxy++==+,在点(1,-1,2)；(3),在点(1,-2,1)；2226,0xyzxyz++=++=(4)2cos,3sin,1cos3xttytz=−=+=+t,在点2tπ=.2．求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1)，在点（1,1,2）；20xzye−−=(2)2222221xyzabc++=在点(,,333abc)2；(3)在点(2,1,12)；224zxy=+(4)cos,sin,xuvyuvza==v=t在点.000(,)Puv3．证明曲线cos,sin,ttxaetyaetzae===2在锥面22xyz+=的母线相交成同一角度.4．求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.2/32/32/3(0xyaa+=)105．求曲面的切平面，使它平行于平面222232xyz++=46xyz++=.6．证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数.(,)Fxazybz−−=0,ab7．证明曲面xyzxe=的每一切平面都通过原点.8．求两曲面(,,)0,(,,)0FxyzGxyz==的交线在平面上的投影曲线的切线方程.Oxy§18.4条件极值1．下列函数的极大值点和极小值点：(1)2(,)(1);fxyxy=−+(2)33(,)3(0);fxyaxyxya=−−(3)2222(,)1(,0);xyfxyxyabab=−−(4)22(,)(2);xfxyexyy=++(5)(,)sincoscos()fxyxyxy=++−(0,);2xyπ≤≤(6)222(,)(1).fxyxy=+−2．已知2yaxbxc=++,观测得一组数据(,),iixyi=1,2,…,n，利用最小二乘法，求系数a,b,c所满足的三元一次方程组.3．已知平面上有n个点的坐标分别是111222(,),(,),AxyAxy…，,(,)nnnAxy试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小.4．求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值：(1)2222(,),{(,)|4};fxyxyDxyxy=−=+≤(2)22(,),{(,)|||||1};fxyxxyyDxyxy=−+=+≤(3)222()222(,,)(),0,xyz3fxyzaxbyczeabcDR−++=++++=其中.5．求证：(1)22(,)222fxyAxBxyCyDxEyF=+++++在2R有最小值，无最大值，其中0,A2;BAC(2)11(,)fxyxyxy=++在0,xy+∞有最小值，无最大值.6．设有二阶连续偏导数，并且(,,)Fxyz000(,,)0Fxyz=，000(,,)0.xFxyz≠讨论由确定的隐函数(,,)0Fxyz=(,)zfxy=在00(,)xy去的极值的必要和充分条件.求由222224100xyzxyz++−+−−=所确定的的极值.(,)zfxy=7．求下列隐函数的极大值和极小值：(1)；222()()()xyyzzx+++++=3.(2)22290zxyzxxy+−−−=8．在已知周长为的一切三角形中，求出面积最大的三角形.2p9.求下列函数在所给条件下的极值：(1)fxy=+，若；221xy+=(2)22fxy=+，若；10xy+−=(3)22fxy=−+z，若；2221xyz++=(4)11fxy=+，若；2xy+=(5)fxyz=，若，2221xyz++=0xyz++=；(6)222faxbyhxy=++，若221xy+=；(7)222fxyz=++，若222222222()2xyzaxbycz++=++，0lxmynz++=.10．求mnpfxyz=在条件xyza++=，，，，，0a0m0n0p0,x0,0yz之下的最大值.11．求函数1(2nnzxy=+))在条件(0,1xylln+=≥之下的极值，并证明：当0,a≥0,1bn≥≥时22nnnabab++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠.12．求表面积一定而体积最大的长方体.13．求体积一定而表面积最小的长方体.14．求圆的外切三角形中面积最小者.15．长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆。这两段的长各为多少时，它们所围正方形面积和圆面积之和最小.a16．求原点到二平面，11110axbyczd+++=22220axbyczd+++=的交线的最短距离。17．求抛物线2yx=和直线1xy−=间的最短距离.18．求时函数0,0,0xyz(,,)ln2ln3lnfxyzxyz=++在球面222xyz++26r=上的极大值.明为正实数时，,,abc6231086abcabc++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠.19．设函数(,,,)fxyuv，，二阶可微，雅克比矩阵(,,,)Fxyuv(,,,)GxyuvxyuvxyuvFFFFGGGG⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠秩为2.12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)LxyuvfxyuvFxyuvGxyuvλλ=++，若是函数00000(,,,)PxyuvL的稳定点，证明：当时，是函数20()()0dLP0Pf在约束条件(,,,)0Fxyuv=，(,,,)0Gxyuv=下的条件极小（大）值点.