2013届高考数学一轮复习讲义：4.6 二倍角的三角函数

主页一轮复习讲义二倍角的三角函数主页1．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.2．公式的常见变形(1)sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.(2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.忆一忆知识要点2sinα·cosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α要点梳理主页[难点正本疑点清源]对于二倍角公式的理解二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α得到的．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．忆一忆知识要点要点梳理主页例1已知3π4απ，tanα＋1tanα＝－103，求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值．三角函数式的化简求值(1)由已知条件求出tanα的值；(2)化简求值或用tanα表示．主页解∵3π4απ，∴－1tanα0，由tanα＋1tanα＝－103，得：3tan2α＋10tanα＋3＝0，∴tanα＝－13或tanα＝－3(舍去)．5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2＝521－cosα＋4sinα＋1121＋cosα－8－2cosα＝3cosα＋4sinα－2cosα＝－322－22tanα＝－322－22×－13＝－526.主页(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．探究提高主页化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.变式训练1解原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα21＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosα·cosα2＋sinα·sinα2cosα·cosα2＝cosα12sinα·cosα2cosα·cosα2＝2sinα.主页例2已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈π2，π，β∈－π2，0，求sinα的值．三角函数式的求值合理拆角，求出cos2α，再根据二倍角公式求出所求结果，注意计算过程中角的范围．解∵π2απ，∴π2α2π.又－π2β0，∴0－βπ2.∴π2α－β5π2.而sin(2α－β)＝350，∴2π2α－β5π2，cos(2α－β)＝45.主页又－π2β0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×－1213＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130，又α∈π2，π，∴sinα＝3130130.主页已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：①先化简所求式子或所给条件；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；③将已知条件代入所求式子，化简求值．探究提高主页已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，sin(α＋β)＋sin(α－β)＝35，(1)求tanα；(2)2cos2α2－3sinα－12sinα＋π4.变式训练2解(1)∵cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，∴2cosα·cosβ＝45，即cosα·cosβ＝25，又sin(α＋β)＋sin(α－β)＝35，∴2sinα·cosβ＝35，即sinαcosβ＝310，∴sinα·cosβcosα·cosβ＝tanα＝31025＝34.故tanα＝34.主页(2)2cos2α2－3sinα－12sinα＋π4＝1＋cosα－3sinα－1sinα＋cosα＝cosα－3sinαsinα＋cosα＝1－3tanα1＋tanα＝1－3×341＋34＝－57.主页(14分)已知f(x)＝2sinx－π3·cosx－π3＋23cos2x－π3－3.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值；(2)若函数y＝f(2x)－a在区间0，π4上恰有两个零点x1，x2，求tan(x1＋x2)的值．思想与方法用三角变换研究三角函数的性质(1)利用三角函数二倍角公式，两角和、差公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．(2)利用f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的性质，研究f(x)的最值．(3)根据y＝f(2x)－a的零点x1、x2的关系求值．审题视角主页规范解答解(1)f(x)＝sin2x－2π3＋3[1＋cos2x－2π3]－3[2分]＝sin2x－2π3＋3cos2x－2π3＝2sin2x－π3，[6分]∴f(x)的最大值为2，此时由2x－π3＝π2＋2kπ，k∈Z得x＝kπ＋5π12，k∈Z.[8分](2)f(2x)＝2sin4x－π3.∵x∈0，π4，∴4x－π3∈－π3，2π3.[10分]主页由已知得2sin4x1－π3＝2sin4x2－π3＝a，∴4x1－π3＋4x2－π3＝π，∴x1＋x2＝5π12，[12分]∴tan(x1＋x2)＝tan5π12＝tanπ4＋π6＝tanπ4＋tanπ61－tanπ4tanπ6＝2＋3.[14分]主页(1)三角函数的化简是解决本题的关键，由于某些考生对公式运用不熟练，导致化简错误．(2)第(2)问错误率比较高，一是思路不清晰，找不到2sin4x1－π3＝2sin4x2－π3；二是计算错误．批阅笔记(1)三角函数的化简是解决本题的关键，由于某些考生对公式运用不熟练，导致化简错误．(2)第(2)问错误率比较高，一是思路不清晰，找不到2sin4x1－π3＝2sin4x2－π3；二是计算错误．主页三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值，常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名、不同角则化同角，利用公式变形即可．方法与技巧主页1．明确化简的方向，从而选择相应公式进行转化．2．公式运用熟练准确，注意各角之间的关系，结合式子的结构特点合理地进行变形．失误与防范