2013届高考数学第一轮基础复习 定积分与微积分基本定理(理)课件

12．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．．了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与性质(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式___________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作_________，即abf(x)dx＝limn→∞i＝1nb－anf(ξi)．i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)abf(x)dx(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0时，定积分abf(x)dx表示由直线_________________________和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．②当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图2－13－1所示，x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0则定积分abf(x)dx表示介于x轴，曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即abf(x)dx＝______________________.A1＋A3－A2－A42．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)acf(x)dx＋cbf(x)dx＝(其中acb)kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxabf(x)dx3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即abf(x)dx＝__________________其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．F(b)－F(a)．F(x)|ba＝F(b)－F(a)4．常见求定积分的公式(1)baxndx＝111bnaxn(n≠1)．(2)baCdx＝Cx|ba(C为常数)．(3)sinbaxdx＝－cosx|ba.(4)cosbaxdx＝sinx|ba.(5)1baxdx＝lnx|ba(ba0)．(6)ebaxdx＝ex|ba.(7)baaxdx＝axlnaba(a0且a≠1)．1.abf(x)dx与abf(t)dt是否相等？【提示】相等．定积分大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关．2．定积分ab[f(x)－g(x)]dx(f(x)＞g(x))的几何意义是什么？【提示】由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．[例1]求下列定积分(1)12x2＋1x4dx；(2)12|3－2x|dx；(3)-π1(cosx＋ex)dx；(4)0π2cosx2－sinx22dx.定积分的性质与微积分基本定理[例2]利用积分的几何意义计算：-4116－x2dx＝________.分析：用积分的几何意义计算，关键是弄清被积函数所对应的几何图形，画好草图．定积分的几何意义解析：由积分的几何意义知：-4116－x2dx表示以(0,0)点为圆心，r＝4为半径的圆在x轴上方部分的面积，所以-4116－x2dx＝12×π×42＝8π.变式训练计算定积分：01－x2＋2xdx;【解析】令y＝－x2＋2x，则y2＝－(x－1)2＋1，所以(x－1)2＋y2＝1，其中0≤x≤1,0≤y≤1，因此01－x2＋2xdx表示y＝－x2＋2x与直线x＝1及x轴围成的图形的面积(如图)，所以01－x2＋2xdx＝π4.利用定积分求平面图形的面积解析：作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2，y＝x，得交点(1,1)，解方程组y＝x2，y＝3x，得交点(3,9)，3．求由曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．因此，所求图形的面积为S＝01(3x－x)dx＋13(3x－x2)dx＝012xdx＋13(3x－x2)dx＝x2|01＋(32x2－13x3)|13＝1＋(32·32－13·33)－(32·12－13·13)＝133.变式训练在下图中，阴影部分的面积是()A．16B．18C．20D．22S＝－42[(4－y)－y22]dy＝(4y－y22－y36)|2－4＝18.例4.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．定积分的综合应用【解析】如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x02.令y＝0，得x＝x02，即C(x02，0)．设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝13x3|x00＝13x03，S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12(x0－x02)·x02＝14x03.所以S＝13x03－14x03＝112x03＝112.【变式训练】在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图4－4－2中阴影部分的面积S1与S2之和最小．图4－4－2解：S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－20txdx＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t、x＝1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即S2＝12txdx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S为S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．当S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，可得t＝0，t＝12.当t＝12时，S最小，所以最小值为S12＝14.[答案]D2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值为()A．6B．4C．3D．2[答案]D•答案：23．已知函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为43，则k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由0k(kx－x2)dx＝(kx22－x33)|0k＝k36＝43求得k＝2.4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．解析：01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝(13ax3＋cx)|01＝a3＋c＝ax02＋c，∴x0＝33.答案：33