高等代数第八章-7第七节-矩阵的有理标准形

第七节*矩阵的有理标准形上页下页返回前一节中证明了复数域上任一矩阵A都可相似于一个若当形矩阵.这一节将对任意数域P来讨论类似的问题.我们证明P上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.上页下页返回定义8对数域P上的一个多项式d(λ)=λn+a1λn-1+…+an称矩阵121100010001000aaaaAnnn(1)为多项式d(λ)的伴侣阵.容易证明，A的不变因子(即λE-A的不变因子)是)(,1,,1,11dn个(见习题3)上页下页返回定义9下列准对角矩阵sAAAA21(2)其中Ai分别是数域P上某些多项式di(λ)(i=1,2,…,s)的伴侣阵，且满足d1(λ)|d2(λ)|…|ds(λ)，A就称为P上的一个有理标准形矩阵.上页下页返回引理(2)中矩阵的不变因子为1,1,…,1,d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)，其中1的个数等于d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数之和n减去s.证明因为ssAEAEAEAE2211上页下页返回进而用初等变换将λE-A变成)(11id由于每个λEi-Ai的不变因子为1,1,…,1,di(λ)，故可用初等变换把它变成上页下页返回)(11)(11)(1121sddd(3)上页下页返回在λ－矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成)()(2)(111sddd由于d1(λ)|d2(λ)|…|ds(λ)，故它是λE-A的标准形，而1,1,…,1,d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)是它的不变因子.上页下页返回定理14数域P上n×n方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形矩阵，称为A的有理标准形.证明设A的(λE-A的)不变因子为1,1,…,1,d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)，其中d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数≥1，且1的个数＝d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数之和减去s，设di(λ)的伴侣阵是Bi，则作上页下页返回如引理所述，B的不变因子与A的不变因子完全相同，故B相似于A，即B是A的有理标准形矩阵.又B是由A的不变因子唯一决定，故B由A唯一决定.证毕.sBBBB21上页下页返回定理15设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为线性变换A的有理标准形.把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为上页下页返回例设3×3矩阵A的初等因子为(λ-1)2,(λ-1)，则它的不变因子是1,(λ-1),(λ-1)2，它的有理标准形为210100001A1A2