高中数学基础知识与基本题型(完整版)

高中数学基础知识与基本题型（理）-51-集合1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}abaPbQ，若{0,2,5}P，{1,2,6}Q，则P+Q中元素的有_____个。（答：8）（2）设{(,)|,}UxyxRyR，{(,)|20}Axyxym，{(,)|0}Bxyxyn，那么点(2,3)()uPACB的充要条件是________（答：1,5mn）；（3）非空集合{1,2,3,4,5}S，且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有_____个（答：7）（4）已知集合{1,3,}Aa，集合2{1,1}Baa，如果BA，求a的值若213aa，即220,12aaaa则或，若221210aaaaa即，即，则1a。当a＝1时，A中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此，a＝1应舍去，所以，满足题意的a的值为-1，2。（5）已知集合{,,1},{0,||,}AxxyxyBxy，且A＝B，求x、y的值。解：由集合元素中的互异性可知，x≠0，y≠0，所以A中的元素xy≠0，只有10xy，解得xy＝1。（1）x＝y，且||xyx，再注意到xy＝1，解得1||1xyxyx或，当1xy时，xy＝1，这违背了集合元素的互异性，故应舍去；若1||1xyxyx，则，从而两个集合中的元素相同。（2）||,1xxxyyxy且解得，解得，不满足集合元素的互异性，也应舍去。综合（1）、（2）可得，只有1,1xy符合题意。2.研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。要看代表元素是数还是数对，代表元素是数时，是函数关系中自变量的取值,还是因变量的取值，可与方程、不等式的解集、函数的定义域、值域联系；代表元素是数对时，可联系点的坐标，与平面中的点集（曲线）联系.如：|lgxyx—函数的定义域；|lgyyx—函数的值域；(,)|lgxyyx—函数图象上的点集，如（1）设集合{|2}Mxyx，集合N＝2|,yyxxM，则MN___（答：[4,)）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}MaaR，{|(2,3)(4,5)Naa，}R，则MN_____（答：{(2,2)}）3.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；4.遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.同样当AB时，你是否忘记A的情形？如(1)2{|210}Axaxx，如果AR，求a的取值范围。1|032|)2(2axxBxxxA，集合BAa若，则实数的值构成的集合为_________1103（答：{，，})5.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如(1)250axxMxa已知关于的不等式的解集为，35MMa若且，求实数的取值范围.235303aMa∵，∴25(55)(5)0Maa，∴51(9,25]3a，（2）已知函数22()42(2)21fxxpxpp在区间[1,1]上至少存在一个实数c，使()0fc，求实数p的取值范围.（答：3(3,)2）提醒：，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。6.集合间的包含问题，简化后，代表元素是数的，在数轴上，可通过相应区间端点（区间覆盖）来解，若与一元二次不等式的解集有关，还可考虑根的分布.（注意端点能否取到）7.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，21n，21n，22.n如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M集合M有______个。（答：7）满足{1,2,3}ABC的集合组(,,)___ABC有组。（37）8.集合的运算性质：⑴ABABA；⑵ABBBA；⑶ABUUAB；⑷UABAB；⑸UABAB；⑹()UABUUAB；⑺()UUUABAB.如设全集{1,2,3,4,5}U，若{2}AB，(){4}UAB，()(){1,5}UUAB，则A＝___，B＝___.（答：{2,3}A，{2,4}B）常用逻辑用语1.命题定义：可以判断真假的语句叫做命题，()()逻辑连接词有“或”，“且”和“非”（）2.含有逻辑连结词的命题真假的判断：pqpq若为真，当且仅当、均为真高中数学基础知识与基本题型（理）-52-pqpq若为真，当且仅当、至少有一个为真pp若为真，当且仅当为假“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶）3.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p则﹁q”；逆否命题为“若﹁q则﹁p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）全称命题及特称命题的否定：全称命题p:,()xMPx,它的否定p:,xM()Px特称命题p:,()xMPx,它的否定p:,xM()Px（4）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定而命题的否定仅对命题的结论否定；（5）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABAB”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（6）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（答：在ABC中，若90C，则,AB不都是锐角）；（2）已知函数2(),11xxfxaax，证明方程()0fx没有负数根。4.充要条件判断命题充要条件的三种方法：①定义法：关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件；②从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若BA，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A=B，则A是B的充要条件③等价法：即利用等价关系ABAB判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；如（1）给出下列命题：①实数0a是直线21axy与223axy平行的充要条件；②若,,0abRab是abab成立的充要条件；③已知,xyR，“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是“若0x或0y则0xy”；④“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是假命题。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p：|43|1x；命题q:2(21)(1)0xaxaa。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是（答：1[0,]2）5.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。如已知关于x的不等式()(23)0abxab的解集为1(,)3，则关于x的不等式(3)(2)0abxba的解集为_______（答：{|3}xx）6.一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？设0a,12,xx是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如上表：如解关于x的不等式：2(1)10axax。（答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，不等式无解；当1a时，11xa）一元二次不等式解法步骤：（1）把二次项的系数变为正的（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）（2）解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）提醒:0时,结合相应函数的图像直接写出结论.（3）比较一元二次方程的根、结合相应函数的图像及不等式的方向写出一元二次不等式的解集.提醒：勿忘数形结合（4）解集公式如下表：7.对于方程20axbxc有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若0a，则一定有240bac。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？提醒：“实系数一元二次方程20axbxc有实数解”转化为“240bac”，你是否注意到必须a≠0；当a=0时，“方程有解”不能转化为240bac。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？如：（1）222210axax对一切xR恒成立，则a的取值范围是____（答：(1,2]）；（2）关于x的方程()fxk有解的条件是什么？(答：kD，其中D为()fx的值域)，特别地，若在[0,]2内有两个不等的实根满足等式cos23sin21xxk，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）8.一元二次方程根的分布理论。高中数学基础知识与基本题型（理）-53-方程2()0(0)fxaxbxca在(,)k上有两根、在(,)mn上有两根、在(,)k和(,)k上各有一根的充要条件分别是什么？（0()02fkbka、0()0()02fmfnbman、()0fk）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间[,]mn讨论方程()0fx有实数解的情况，可先利用在开区间(,)mn上实根分布的情况，得出结果，再令xn和xm检查端点的情况．基本思维程序是：①在某区间上只有一解，只考虑端点符号②在某区间上有两解，考虑对成轴、判别式、端点符号③端点单独考虑提醒：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件②端点，验证端点。如实系数方程220xaxb的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则21ba的取值范围是_________（答：（14，1））9.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（1）不等式32xax的解集是(4,)b，则a=__________（答：18）；（2）若关于x的不等式20axbxc的解集为(,)(,)mn，其中0mn，则关于x的不等式20cxbxa的解集为________（答：11(,)(,)mn）；（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：）。函数1.映射f:AB的概念.在理解映射概念时要注意：⑴