解答题的常见题型及解法分析

解答题的常见题型及解法分析象山三中胡庆彪2007.3一个值得深思的现象:每年数学高考,总有一部分平时学得好的学生未考好,也有许多平时学习中下等的学生考得较好.高考兵法:知彼知己数学学科命题的依据:循序渐进，平稳过渡，稳中求变，稳中求新，以考试说明为基础，力求体现“三基为本，能力立意，有利选拔，注重导向”的命题指导思想。数学学科命题的三个避免：命题时力求做到“三个避免”，即尽量避免需要死记硬背的内容，尽量避免呆板试题，尽量避免烦琐计算试题。数学学科命题的三个反对，两个坚持:三个反对：反对死记硬背，反对题海战术，反对猜题押题；两个坚持：坚持三基为本，坚持能力为纲。数学高考题题型:选择题填空题解答题010203040506070选择填空解答班平均分120以上100-120100以下某班某次数学高考模拟题得分数学解答题常见题型：三角函数综合题概率统计题立体几何题数列综合题解析几何综合题函数(不等式)综合题一、三角函数综合题1.可能出现的题型：（1）三角求值(证明)问题；（2）涉及解三角形的综合性问题；（3）三角函数图象的对称轴、周期、单调区间、最值问题；（4）三角函数与向量、导数知识的交汇问题；（5）用三角函数工具解答的应用性问题。2.解题关键:进行必要的三角恒等变形.其通法是：发现差异（角度、函数、运算结构）寻找联系（套用、变用、活用公式，注意技巧和方法）合理转化（由因导果的综合法，由果探因的分析法）其技巧有：常值代换，特列是用“1”代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角。3.考基础知识也考查相关的数学思想方法:如考三角函数求值时考查方程思想和换元法。的面积的值和求中，：在例ABCAABACAAABCtan,3,2,22cossin1思路分析1：.323131)6045tan(tan).127(105,6045,1800)(.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAAAAAAAA又”为未知数的三角方程“到这一步得到了一个以注：思路分析2：)2(26cossin.23cossin21)cos(sin.0cos,0sin,1800.21cossin2.21)cos(sin)1(,22cossin22AAAAAAAAAAAAAAA.32cossintan.462cos)2()1(,462sin)2()1()cossin()2(26cossin)1(22cossin)2()1(AAAAAAAAAAA得得一次方程组的一个二元、关于注：到这一步得到一个联立可得方程组、思路分析3：)3(sin22cos)cossin()2(1cossin)1(22cossin22AAAAAAAA的一个二元一次方程组、关于注：到这一步得到一个.32cossintan.462cos).(462sin,462sin)sin(041sin22sin232AAAAAAAAA舍或的一个一元二次方程一个关于注：代入消元后，得到）得：）代入到（把（2222sincos1,(sincos)2sincos1.112sincos1.2sincos.2212tan1sin2..21tan2(tan)AAAAAAAAAAAAAA注：这是一个以为元的分式方程思路分析4：.23tan.1tan.432,22cossin.23tan,01tan4tan2AAAAAAAA思路分析5：.23)45cos(.1804545,21)45sin(.1800.21)45sin(,22)45sin(2cossinAAAAABCAAAAA又的内角，为.23tan)tan(.33tan11tan.33)45tan(AAAAA为元的分式方程注：这是一个以思路分析6：432cossin,1800.21cossin2.21)cos(sin,22cossin2AAAAAAAAAA)2(9)1(223,223,22,cos,sin222ABADBDADBDADBDABADABBDABADAABBDAECABDB点，的延长线于垂直点做过如图，ABCDABCD.32tan.4)26(34)26(3)()2(9)1(223:)2()1(222BDADAADBDABADBDADBD二元一次方程组注：这是一个关于BD,AD的联立可得、44sin23sincoscos[0,].yxxxx例2：求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调增区间然后再进一步研究。的形式，化为的策略是先将性质问题解决对于三角函数的图象和BxAxfxf)sin()()(思路分析：44sin23sincoscos3sin2cos22sin(2)622.yxxxxxxxT最小正周期最小值为],65[],3,0[],0[].,65[],0[]34,65[].3,0[],0[]3,6[].34,65[],3,6[1,0.36),(226222上的增区间是所以该函数在区间则区间时得到原函数的两个增当即由kkxkzkkxk二、概率与统计题1、可能出现的题型是：只涉及概率的问题；概率与不等式综合；概率与二次函数综合；概率与数列求和综合；概率与线性规划综合等。2、解答概率统计题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：（1）随机事件的概率，等可能性事件的概率。（2）互斥事件有一个发生的概率。（3）相互独立事件同时发生的概率。（4）n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。（5）n次独立重复试验中在第k次才首次发生的概率。（6）对立事件的概率。七卜另外(1)要会用期望与方差计算公式进行相关运算;(2)要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”、“都发生”、“不都发生”、“都不发生”、“第k次才发生”，等。1.掷一枚硬币，正、反两面出现的概率都是0.5，把这枚硬币反复掷8次，这8次中的第n次中，假若正面出现，记an＝1，若反面出现，记an＝－1，令Sn＝a1＋a2＋…＋an(1≤n≤8)，在这种情况下，试求下面的概率：(1)S2≠0且S8＝2的概率；(2)S4＝0且S8＝2的概率．1例解(1)S2≠0S8＝2即a1＋a2≠0a1＋a2＋a3…＋a8＝2∴分两类讨论如下：1°若a1＝1＝a2，则后六次3正3反，∴P1＝(12)2×C36(12)3×(1－12)3＝5642°若a1＝－1＝a2，则后六次5正1反，∴P2＝(12)2×C16(12)1×(12)5＝3128故所求概率为P＝P1＋P2＝13128(2)S4＝0S8＝2即a1＋a2＋a3＋a4＝0a5＋a6＋a7＋a8＝2∴前四次2正2反，后四次1反3正故所求概率为P＝C24(12)4·C14(12)4＝332三、立体几何题1、可能出现的题型是:以锥体或柱体为载体的线面之间位置关系的讨论;有关角与距离计算.2、解立体几何题的关键是运用化归思想：一是定理之间的相互转化；二是将空间图形转化为平面图形；三是形数转化:立几问题代数化；四是将新的问题情境纳入到原有的认结构中去。３、在解立几题时，需要总结和提炼一些重要的解题方法:构造法（分形与补形:线、面、体的添加与分割）；参数法（用参数x表示角与距离，将问题化为代数或三角问题）；分类法（将一个问题分为几个(种)小问题(情况)，分而治之）；反证法（当正面解决出现困难时，不妨从反面入手）；向量法(坐标法)。CEDABF例1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点.(1)求证AM∥平面BDE；.解(1)如图建立空间直角坐标系.设AC∩BD＝N，连结NE，则N(22，22，0)、E(0，0，1)∴NE→＝(－22，－22，1).又A(2，2，0)、M(22，22，1)，∴AM＝→(－22，－22，1)∴NE→＝AM→且NE与AM不共线，∴NE∥AM.又NE面BDE,AM面BDE，∴AE∥平面BDE.∩包∩包例1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点.(2)求二面角A－DF－B的大小；解(2)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF，∴AB→＝(－2，0，0)为平面DAF的法向量.又∵NE→·DB→＝(－22，－22，1)·(－2，2，0)＝0，NE→·NF→＝(－22，－22，1)·(22，22，1)＝0，∴NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE⊥平面BDF，即NE→为平面BDF的法向量.又∵cos〈AB→，AE→〉＝AB→·NE→|AB→·NE→|＝(－2)×(－22)2·2＝12,∴AB→与NE→的夹角为60°.又由图可判定二面角A－DF－B的大小为锐角，∴所求二面角A－DF－B的大小为60°.例1如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点.(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.解(3)设P(t，t，0)(0≤t≤2)，则PF→＝(2－t，2－t，1)，CD→＝(2，0，0).又∵PF→与CD所成的角为60°，∴|(2－t)·2|(2－t)2＋(2－t)2＋1·2＝12，解之得t＝22或t＝322(舍去)，故点P为AC的中点.注：亦可用线面关系法求解(略)四、解析几何题1.解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线。直线：以倾角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关问题为基本问题，特别要熟悉有关点对称、直线对称问题的解决方法；圆：注意利用平几知识，尤其要用好圆心到直线的距离；圆锥曲线：主要考查圆锥曲线的概念、性质和标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系等。可能出现的题型是：（1）求参数范围或求最值的综合问题；（2）探求动点的轨迹问题；（3）有关定值、定点等的证明问题；（4）与向量综合、探索性问题。2.解答解析几何题的关键是掌握坐标法：建立坐标系，引入点的坐标，将几何问题化归为代数问题，用方程的观点实现几何问题代数化解决。坐标法包括：“由形定式”和“由式论形”两大任务。3.关于求曲线的方程:一类是:曲线的形状明确，方程的形式为已知的某种标准方程，方法是待定系数法；另一类是:曲线的形状不明确，常用方法有直译法动点转移法参数法交轨法等4.关于求解参数取值范围问题，其核心思路是：识别问题的实质背景，选择合理、简捷的途径，建立不等式(等式)，借助于不等式、方程与函数的知识求解。可利用的不等式(等式)有：（1）圆锥曲线特征参数a、b、c、e、p的特殊要求；（2）圆锥曲线上的动点的范围限制；（3）点在圆锥曲线的含焦点区域内（外）的条件；（4）题设条件中已给定某一变量的范围（要求另一变量的范围）；（5）直线方程与圆锥曲线方程联立后产生的特征方程的根的分布条件；（6）目标函数的值域；（7）平面几何知识，如对图形中某些特殊角、线段长度的要求。5.其它一些解题经验:将解答问题过程中的方程转化为圆锥曲线的标准方程，可以看出其中的特征量、几何特征，进而引发出有效的解题思维链；平面几何的一些简单性质在解答某些解几题时，有时可以起到化繁为简、化难为易的作用；代入消元-建立一元二次方程-判别式-韦达定理-弦长公式-中点坐标公式…，是很实用的解题路线图。解题（书写）的过程往往吻合于作图步骤；回归定义，出奇制胜。向量