专升本工程力学第09章.压杆稳定

1第4章弯曲内力王明禄2020年5月13日星期三第九章压杆稳定2不稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置§9-1压杆稳定的概念3F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡QF（特殊值）压弯失稳曲线平衡曲线平衡F（特殊值）保持常态、稳定失去常态、失稳QQQ4压杆失稳的现象：1.轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；2.轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）直线平衡状态；失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力5适用条件：•理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）•线弹性，小变形•两端为铰支座§9-2临界载荷的欧拉公式6例题1解：截面惯性矩临界力269kNN10269371两端绞支22FcrEIl2一端固定另端绞支22F(0.7)crEIlC为拐点lABcrPC二、其他支座条件下细长压杆的临界压力8lABPcr3两端固定22F(0.5)crEIlC，D为拐点CD94一端固定,另端自由22F(2)crEIll2l1011欧拉公式的统一形式)(22lFEIcr为压杆的长度系数;l为相当长度。讨论：（1）相当长度l的物理意义1压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l。2l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度12)(22lFEIcr为长度系数l为相当长度（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则I应取最小的形心主惯性矩。2若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I为其相应的对中性轴的惯性矩。13例题2：图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，哪一根的最小？al2)(1al3.1)(2aal12.16.17.0)(3aF(1)F1.3a(2)F(3)1.6a321lll因为又22lEIFcr可知321crcrcrFFF（1）杆能承受的压力最小，最先失稳；（3）杆能承受的压力最大，最稳定。14例：图示各细长压杆材料和截面均相同，试比较各杆的承载能力。5m9m7m3m5m5m5m5m(a)(b)(c)(d)(e)(f)μl=1×5=50.7×7=4.90.5×9=4.52×3=6上1×5=5下0.7×5=3.5上0.7×5=3.5下0.5×5=2.5细长压杆，可用欧拉公式求临界压力22cr)/(lEIF承载能力依次为：da=ebcf15FaABa\2ca7.0a7.0lAB解：a5.0a5.01lBC22F(0.7)ABcrEIa故取22F0.7crEIa例题3已知：图示细长压杆EI,求：临界压力22F0.5BCcrEIa16例4由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，z=1，长度为l1。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定y=0.6，长度为l2。试用欧拉公式求Fcr。zy2212662417zy22126624解：在xy平面内失稳时，z为中性轴)(6221212241212133Iz)(15622222222111()(1)zzcrEEzIIFll在xz平面内失稳时，y为中性轴2261212122412133)(Iy},min{21FFFcrcrcr2222222()(1)yycrEEyIIFll18③压杆的临界力例5求下列细长压杆的临界力。,123hbIy=1.0，解：①绕y轴，两端铰支：222LEIFycry,123bhIz=0.7，②绕z轴，左端固定，右端铰支：212)7.0(LEIFzcrz),min(crzcrycrFFFyzL1L2yzhbx1949123minm1017.410121050I21min2)(lEIFcr48minm1089.3zII22min2)(lEIFcr例6求下列细长压杆的临界力。图(a)图(b)解：图(a)图(b)：P393查表，得kN14.67)5.07.0(20017.422kN8.76)5.02(200389.0223010FLFL(45456)等边角钢yz20例7、图示三角架结构，BC杆为细长压杆，已知：AC=1.5m，BC=2m，d=2cm，E=200GPa，求不会使刚架失效的载荷F。解：1）计算压杆BC的临界力22LEIFBCcr2）计算许可载荷[P]025.1][:0BCcryFFF(KN)763.)KN(82.2][FFF21例8：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷F为最大值时的θ角（设0θπ/2）。90②①F22解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：sincos21FFFFNN，两杆的临界压力分别为：22122212crcrEIEIFFll，到临界压力，即都达、最大，只有要使21NNFFF221222cos1sin2EIFlEIFl（）（）90②①F23将式除以式便得()(),21122tgllctg2由此得arctg(ctg2)90②①F24§9-3中小柔度杆的临界应力11-325欧拉公式只适用于大柔度压杆11-326欧拉公式中小柔度杆临界应力计算PSbacrbasss(小柔度杆)(中柔度杆)(大柔度杆)经验直线公式scr其中，强度问题27临界应力总图28s(小柔度杆)sP(中柔度杆)il•1.计算压杆柔度AIi•2.确定临界柔度PPE2P比例极限basss屈服极限•3.根据柔度选择公式，计算临界应力P(大柔度杆)欧拉公式22Ecrbacr直线公式强度问题scr计算临界应力的步骤：29lilAFcrcr30][FFstcrnFstcrnFF：stn稳定安全系数n工作安全系数stcrnn§9-4压杆的稳定条件与合理设计11-4一、压杆的稳定条件31解：1、计算mmdAIi75.13410975.13105.11iL3属大柔度杆。2、计算Pcr（cr）AEPcr22622921055414.31091021014.3)(414KN例1、L=1.5m(两端铰支)，d=55mm，A3钢（p=102，s=56）E=210GPa，P=80KN，nst=5，试校核此连杆稳定性。前进323、稳定性计算4145.1880crstPnP安全讨论：1）、若L=2m(KN),2.232crP2.9crstPnP不安全！5.145:则返回33s56()中粗杆AbaPcr)()KN(7.51848.6807.518PPcr更安全！讨论：2）、若：3p0.71.51076.413.75返回34例2：空压机活塞杆由45＃制成。s＝350MPa，p＝280MPa，E＝210GPa。L＝703mm，d＝45mm，Fmax＝41.6kN，规定安全系数nst＝8～10。试校核其稳定性。解：活塞杆两端为铰支，＝1。424464dddAIi862ppEp5.62445703il查表a＝461MPa，b＝2.568MPa。ps中柔度杆所以用直线公式bass35MPa3015.62568.2461bacrkN478crcrAFstcrnFFn5.11max活塞杆满足稳定性要求36F解:例3有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度l=50cm,求临界载荷。(已知)crFMPaMPaps200,235il柔度:4/5.02d77AIi惯性半径:4dA3钢:可查得MPabMPaa12.1,3042p100pEssab6.6137bas06.610p可用直线公式.因此AFcrcrAba)(KN46226410)7712.1304(d38解：CD梁0CM150030sin2000NFFkN6.26NF得AB杆il1m732.130cos5.1l例439kN6.26NFAB杆il1m732.130cos5.1lmm164644222244dDdDdDAIiP1081610732.113得AB为大柔度杆kN11822lEIFcrNcrFFn342.46.26118stnAB杆满足稳定性要求40例5正视图俯视图已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235钢,E＝205GPa,FP＝150kN,nst=1.8,校核:稳定性是否安全。p8641解：压杆在正视图平面内，两端约束为铰支,y=yl/iy,Iz=bh3/12Iy=hb3/12z=132.6y=99.48AIizzAIiyyz=zl/iz,压杆在俯视图平面内，两端约束为固定端因此，压杆将在正视图平面内失稳。kN2.2764ππ)(F222crcrdEAz工作安全系数：834.11502.276FPcrwrcrstFnnst[nst]=1.8压杆的稳定性是安全的P又由于42例6简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：，杆AC：,两杆材料均为Q235钢,,规定的强度安全系数，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。mmd301mmd202MPaGPaEs240,200100,60ps2stn3stnmaxFF45°A21CB0.6m43解:１、受力分析AF1NF2NF)()(221压，拉FFFFNN2、由杆AC的强度条件确定。maxF111AFNssnssnAF21KN7.263、由杆AB的稳定条件确定。maxFstNcrnFFn24422il柔度:4/6.012d80sp可用直线公式.因此2crcrAF2)(AbaKN47.151stcrNnFFF2347.151KN5.50所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为KNF7.26max45例7图示托架结构，梁AB与圆杆BC材料相同。梁AB为16号工字钢，立柱为圆钢管，其外径D=80mm，内径d=76mm，l=6m，a=3m，受均布载荷q=4KN/m作用；已知钢管的稳定安全系数n=3,试对立柱进行稳定校核。qCBAla46欧拉公式22)(lEIFcr越大越稳定crF•减小压杆长度l•减小长度系数μ（增强约束）•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）•增大弹性模量E（合理选择材料）二、提高压杆稳定性的措施47•减小压杆长度l48•减小长度系数μ（增强约束）49•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）50•增大弹性模量E（合理选择材料）大柔度杆22)(lEIFcr中柔度杆bacr小柔度杆crb