误差理论习题答疑合肥工业大学-费业泰主编

误差理论习题答疑目录1.绪论2.误差基本原理3.误差的合成与分解4.最小二乘法原理5.回归分析绪论绪论1-41-4在测量某一长度时，读数值为,其最大绝对误差为20um，试求其最大相对误差。解：最大相对误差≈（最大绝对误差）/测得值，绪论1-51-5使用凯特摆时，由公式。给定。今测出长度给定。今测出长度为m,振动时间T为s。试求g及最大相对误差。如果测出为m，为了使g的误差能小于，T的测量必须精确到多少解：由得对进行全微分，令，得，从而的最大相对误差为：由得，所以，。绪论1-71-7为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用,解：设微安表的量程为，测量时指针的指示值为X，微安表的精度等级为S，最大误差,相对误差，一般故当X越接近相对误差就越小，故在使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。绪论1-9,1-9多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过,优秀选手能在距离50m远处准确射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高解：火箭射击的相对误差：选手射击的相对误差：所以，相比较可见火箭的射击精度高。绪论1-10,1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm，其测量误差分别为而用第三种方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为，试比较三种测量方法精度的高低.解：第一种方法测量的相对误差为：第二种方法测量的相对误差为：第三种方法测量的相对误差为：相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。第二章：误差基本原理1.算术平均值2.标准差及算术平均值的标准差3.测量结果表达方式4.粗大误差判断及剔除误差基本原理2-2,2-2测量某物体共8次，测得数据（单位为g）为，，，，，，，。试求算术平均值及其标准差.,解：算术平均值为：算术平均值的标准差是：2-3用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。解：①别捷尔斯法：查表得：，所以：,③最大误差法：查表得：所以，综上所述，用贝塞尔公式得到的标准差是，别捷尔斯法计算得到的标准是、极差法是和最大误差法是，故最大误差法计算的得到的标准差最小，别捷尔斯法最大。2-9已知某仪器测量的标准差为。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm）为，，，，，，，，，，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。解：①，测量结果：②测量结果：,③可由测得数据计算得：,所以对①，测量结果为：对②，测量结果为：2-12甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各测量五次，测得值如下：甲：，，，，乙：，，，，试求其测量结果。解：对于甲来说对于乙来说所以两个测量者的权是：不妨取所以，即为所求。2-16对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：，，，；，，，，，。试判断两组数据间有无系统误差。解：用秩和检验法有：将两组数据混合排列，得因为所以有根据怀疑存在系统误差。2-17等精度测量某一电压10次，测得结果（单位为V）为，，，，，，，，，。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判断是否接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新作了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为，，，，，，，，，。试用t检验法（取为）判断两测量值之间是否有系统误差。解：用t检验法判断：第一次测量的数据，第二次测量数据：；所以：因为，取，查t分布表，得所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。2-19对某量进行两组测量，测得数据如下：;;试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：将两组混合排列成下表：得，因为秩和T近似服从正态分布，所以，数学期望为，标准差，所以，,故，当置信概率p%，此时此时有根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。而当置信概率p%时，此时无根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。2-20对某量进行15次测量，测得数据为，，，，，，，，，，，，，，，若这些测得值以消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差测量值。思路：①莱以特准则：计算得，根据莱以特准则，第14次测量值的残余误差所以它含有粗大误差，故将它剔除。再根据剩下的14个测量值重复上述步骤。②格罗布斯准则：按照测量值的大小，顺序排列得，，现在有2个测量值可怀疑，由于故应该先怀疑X(1)是否含有粗大误差，计算,。故第14个测量值X(1)含有粗大误差，应剔除。注意：此时不能直接对x（15）进行判断，一次只能剔除一个粗差。重复上述步骤，判断是否还含有粗差。③狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重复。第三章：误差的合成与分解知识点：1.系统误差合成2.随机误差合成3.相关系数4.微小误差取舍原则5.误差的分解及等作用原则3-2为求长方体体积V，直接测量其各边长为，，，已知测量的系统误差为，，，测量的极限误差为a，，，试求立方体的体积及其体积的极限误差。思路：1.按测得值计算得V；2.根据系统误差的合成原理求得V的系统误差；3.计算长方体的体积；4.根据极限误差的合成原理求得极限误差；此时可写出测量结果表达式。解：因为体积的系统误差：所以，长方体的体积是：极限误差为（局部误差方和根）：所以，立方体的体积是，体积的极限误差是3-4测量某电路的电流，电压，测量的标准差分别为，求所耗功率及其标准差。解：先求所耗功率：所以，所以，该电路所耗功率为，其标准差为解：因为所以，解：如图所示，由勾股定理得然后对d1，d2，H1,H2分别求偏导，即得出误差传递系数。3-10假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式给出。若要求测量g的相对标准差试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的相对标准差应该是多少因为测量项目有两个，所以n=2。按等作用原理分配误差，得同理，综上所述，测量L和T的相对标准差分别是%和%。第五章：最小二乘法原理知识点：1.最小二乘法原理2.正规方程3.两种参数估计的方法4.精度估计推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘法参数估计参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：由误差方程且要求最小，则：所以：理论基础：5-1由测量方程试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。解：方法一（常规）：1.列出误差方程组：即，由上式可解得结果：2.直接列表计算给出正规方程常数项和系数可得正规方程将yx，的结果代入分别求得：得，由题已知，，得由不定乘数的方程组方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程上式可以表示为即解得，将最佳估计值代入误差方程可得，将计算得到的数据代入式中为求出估计量y，x，的标准差，首先求出不定常数由已知，不定常数的系数与正规方程的系数相同，因而是矩阵中各元素，即5-3测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。151821242730/FN设t无误差，F值随t的变化呈线性关系试给出线性方程中系数k0和k的最小二乘估计及其相应精度。解：利用矩阵求解，误差方程可写成试中，所以将最佳估计值代入误差方程得为求出估计量k0,、k，的标准差,需要求出不定乘数dji的系数，而不定乘数Dji的系数与正规方程的系数相同，因而Dij是矩阵中各元素，即则可得估计量的标准差为5－5不等精度测量的方程组如下：试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。解：利用矩阵计算5－7将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数X1，x2，的二乘法处理及其相应精度。所以解得则第六章回归分析知识点：1.一元线性回归2.多元线性回归3.方差分析及显著性检验LOGO第六章回归分析6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：正应力/xPa抗剪强度/yPa/xPa/yPa假设正应力的数值是精确的，求①抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。②当正应力为时，抗剪强度的估计值是多少解：①6-7在4种不同温度下观测某化学反应生成物含量的百分数，每种在同一温度下重复观测三次，数据如下：求y对x的线性回归方程，并进行方差分析和显著性检验6-11用表差法法验证下列数据可以用曲线表示。xy解：将表中yx，画图得曲线如图所示，从曲线上按读取列入下表。，因表中极接近常数，此组观测数据可用表示6-12炼焦炉的焦化时间y与炉宽1x及烟道管相对温度2x的数据如下：y/min1x/mx2求回归方程检验显著性，并讨论x1，x2对y的影响。