含参量积分

高等微积分讲义16.1第16讲含参量的定积分所谓含参量的积分是指如下两大类积分：1.()(),Fxfxydyβα=∫若对于[],xab∀∈上述积分均是有意义的，即[],αβ可以到无穷，积分是收敛的（若为广义积分的话）。也就是说，作为y的函数，(),fxy在[],αβ上可积或广义可积，则()Fx在[],ab上就是关于x的函数，从积分本身的性质来讨论这类积分与以往介绍的积分没有什么两样，但这里我们所关心的是：作为x的函数，()Fx与(),fxy的性质有哪些关系？()Fx何时是可积的？连续的？可导的？等等这一系列的函数性质正是我们要讨论的问题。2.()()()(),xxGxfxydyβα=∫这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于()Gx的性质不但依赖于(),fxy之性质，而且与()xα，()xβ之性质相关。另外，上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到非初等函数的具体形式。我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分，即(),fxy作为y的函数无瑕点，[],αβ是有限区间的情形（或()(),xxαβ⎡⎤⎣⎦均为有限区间）。为便于书写，记[][],,abαβ=×D。§1连续性定理1：()(),fxyC∈D，则()()(),,yIxyfxtdtCα=∈∫D。证明：由连续定义，()()()()()()()0000000,,,,,,,yyyyyIxyIxyfxtdtfxtdtfxtfxtdtfxtdtααα−=−≤−+⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫上式中，第一项可利用函数之连续性，第二项利用函数的可积性说明为小量：由()(),fxyC∈D，D是有界闭集，所以(),fxy在D上一致连续。因而：0ε∀，10δ∃，当01xxδ−，01yyδ−时，有：()()()00,,2fxyfxyεβα−−，含参量的定积分16.2令：1min,2Mεδδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()(),max,xyMfxy∈=D，则当0xxδ−，0yyδ−时，有：()()()0000,,222IxyIxyyMyyMMεεεαεβα−−+−+=−所以()(),IxyC∈D。证毕定理1可以有如下形式之推论：推论：()(),fxyC∈D，则()()[],,FxfxydyCabβα=∈∫，即：()()()000lim,,lim,xxxxfxydyfxydyfxydyβββααα→→==∫∫∫。推论可以简称为：极限号与积分号可以交换次序。定理2：()(),fxyC∈D，()()[],,xxCabϕψ∈，且[],xab∈时，()(),xxαϕψβ≤≤，则：()()()()[],,xxGxfxydyCabψϕ=∈∫。证明：由于()()()()()()()()(),,,,xxGxfxydyfxydyIxxIxxψϕααψϕ=−=−∫∫由复合函数之连续性知：()[],GxCab∈。§2可导性定理3：设()()(),,,xfxyfxyC∈D，则()()()[]1,,FxfxydyCabβα=∈∫，且()(),xFxfxydyβα′=∫，即求导与积分可以交换次序。证明：由导数定义：()()()()()(),,,01xFxxFxfxxyfxydyxxfxxydyβαβαθθ+Δ−+Δ−=ΔΔ=+Δ∫∫中值定理由于()(),xfxyC∈D，由上一段推论知：()()0lim,,xxxfxxydyfxydyββααθΔ→+Δ=∫∫所以()(),xFxfxydyβα′=∫。高等微积分讲义16.3同样由于由于()(),xfxyC∈D，由上一段推论知：()[],FxCab′∈，所以()()[]1,FxCab∈。证毕定理4：()()(),,,xfxyfxyC∈D，()(),xxϕψ在[],ab上可导，且[],xab∈时，()(),xxαϕψβ≤≤，则()()()(),xxGxfxydyψϕ=∫在[],ab上可导，并且：()()()()()()()()()(),,,xxxGxfxydyfxxxfxxxψϕψψϕϕ′′′=+⋅−⋅∫。证明：令()(),,,uvFuvxfxydy=∫，则()()()(),,GxFxxxψϕ=。利用复合函数之求导法则，有：()()()()()()()()()()()(),,,uxvxxxxFduFdvFGxudxvdxxfxxxfxxxfxydyψϕψϕψψϕϕ==∂∂∂′=⋅++∂∂∂′′=⋅−⋅+∫证毕例1.()()2sinxxxyFxdyy=∫，求()Fx′。解：由定理4，()()()()()()()()()()()()22222323232sincossin212sinsincos2sinsin3sin2sinsinxxxxxxxxyxyxxFxdyxyxxxxxydyxxxxxxyxxx⋅⋅′=+⋅−⋅−=+−−=+=∫∫解毕例2.求积分()()0ln1cosIxdxπθθ=+∫，1θ。解：在11θδ≤−内，由定理3知()Iθ可导，因此：()()()()()()2tan2220022021cos1cos111211111xttxIdxdtxttdtttπθθθθθθθ=+∞+∞−′==++++−⎡⎤=−⎢⎥+++−⎣⎦∫∫∫含参量的定积分16.4所以：()()22221221111Iπππθθθθθθ⎡⎤′=−=−⎢⎥−−−+⎣⎦，因而：()()()()()()002222000111ln11ln11ln2IIIddθθθπθθθθθθθπθπθπ−′=+=+−+−=+−=+−−∫∫解毕例3.设()()0cossinuxnxdπθθθ=−∫，求证：()ux满足方程()2220xuxuxnu′′′++−=。证明：由定理3，()()()()00sinsinsinsinsinsinuxnxdnxdππθθθθθθθθ′=−−−=−∫∫()()20cossinsinuxnxdπθθθθ′′=−−∫因而：()222xuxuxnu′′′++−()(){}()()(){}()()()(){}()()22220222000sincossinsinsinsincoscossinsinsinsincossinsinsinsincoscossinsin0xxnnxxnxdxnnxxnxdnxdnxnxdnxnxnxππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤=−+−−+−⎣⎦=−−+−=−+−−−+=−+−=∫∫∫故命题得证。证毕§3可积性定理5：()(),fxyC∈D，[],zab∀∈有：()(),,zzaafxydydxfxydxdyββαα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫。证明：令：()(),zaFzfxydydxβα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫，()(),zaGzfxydxdyβα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫。一方面，由于()(),fxyC∈D，所以()[],,fxydyCabβα∈∫因而变上限积分()Fz可导，且()(),Fzfzydyβα′=∫；另一方面，[],yαβ∀∈，变上限积分()()[]1,,zafxydxCab∈∫，所以：()()(),zaaGzfxdxdyfzydyzββα∂⎡⎤′==⎢⎥∂⎣⎦∫∫∫。高等微积分讲义16.5所以：()()FzGz′′=，因此有()()FzGzC=+。又：za=时，()()FaGa=，所以：0C=，即：()(),,zzaafxydydxfxydxdyββαα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫。证毕推论：()(),fxyC∈D，则：()(),,bbaafxydydxfxydxdyββαα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫。例4.设ba0，求积分∫−=10lndxxxxIab。解：由于∫=−bayabdyxxxxln，所以：111000110ln1ln111babbyyaaybbaaxxIdxxdydxxdxdyxxdybdyyya+−⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+===+++∫∫∫∫∫∫∫解毕例5.设()()(),nfxC∈−∞+∞，()1n≥，令()()()()fxfaxagxxafaxa−⎧≠⎪=−⎨⎪′=⎩求证：()()()1,ngxC−∈−∞+∞。证明：()()()()()()()1100dfxfafatxadtfatxaxadtdt′−=+−=+−−∫∫所以：()()()()10fxfafatxadtxa−′=+−−∫，xa≠又因为：()()()10fafataadt′′=+−∫，所以：()()()10gxfatxadt′=+−∫。由于()()()1,nfxC−′∈−∞+∞，所以()()()1,ngxC−∈−∞+∞。证毕例6.计算积分()()20ln12cosIrrrdπθθ=−+∫，1r。解：在11rδ≤−内()Ir可导，因此：()2022cos12cosrIrdrrπθθθ−′=−+∫。()()002cos0Idπθθ′=−=∫，而当0r≠时，含参量的定积分16.6()2200111112arctantan012cos12rrIrdrrrrrππθθθθ⎡⎤−⎡−⎤⎛⎞′=−=−=⎜⎟⎢⎥⎢⎥−++⎝⎠⎣⎦⎣⎦∫所以：()0Ir′≡，()()00IrI≡=。解毕高等微积分讲义16.7§4习题1.求下列函数的导数：1)()2cos1sinxxyxFxedy−=∫；2)()()220,xxtFxftsdsdt⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫，假设(),fxy有足够好的性质。2.计算积分()()2cos01cossin2xFxexdπθθθπ=∫。3.求积分：101sinlnlnbaxxIdxxx−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫，其中0ba。4.设()[)0,fx∈+∞C，令：()()2001hhFxfxddhξηηξ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∫∫，0h求证：()()[)20,Fx∈+∞C，并计算()Fx′′。5.证明函数()22201sinExxdπθθ=−∫，01x，满足方程：()()()21101ExExExxx′′′++=−。