曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)

1第九章曲线积分与曲面积分curvillnearintegralandsurfaceintegral2问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算小结思考题作业第一节第一类曲线积分第十章曲线积分与曲面积分3一、问题的提出实例sM匀质之质量分割121,,,nMMM,),(iiis取iiiisM),(求和niiiisM1),(取极限M取近似曲线形构件的质量近似值精确值对弧长的曲线积分niiiis1),(0limOxy2M1nMABLis1iM),(ii1MiM4二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,,is为又),(ii,),(iiisf,),(1niiiisf在L上有界.),(yxf函数作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值,0时对弧长的曲线积分在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,④Oxy2M1nMABLis1iM),(ii1MiM121,,,nMMM5曲线形构件的质量LsyxMd),(,d),(Lsyxf即Lsyxfd),(这和的极限存在,则称此极限为),(yxf函数在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作niiiisf1),(niiiisf1),(对弧长的曲线积分0lim注意:被积表达式都定义在曲线上,即满足曲线的方程.62.存在条件上在光滑曲线弧当Lyxf),(3.推广上在空间曲线弧函数),,(zyxfszyxfd),,(.d),(存在Lsyxf对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积分为iniiiisf10),,(lim对弧长的曲线积分7注意,)()1(是分段光滑的或若L21d),(LLsyxf在函数),()2(yxfLsyxfd),()(21LLL1d),(Lsyxf2d),(Lsyxf闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长的曲线积分84.性质Lsyxgyxfd)],(),([LLsyxfsyxkfd),(d),((1)LLsyxgsyxfd),(d),((2))(为常数kk(3)与积分路径的方向无关,即Lsyxfd),(Lsyxfd),()(AB⌒)(BA⌒对弧长的曲线积分9在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数Lsyxfd),(是L上关于x的偶函数,d),(21LsyxfL1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于x=0对称,补充对称性质曲线L上连续,),(yxf设函数则,0当),(yxf(或y)(或y)当),(yxf(或y=0)(或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数与积分曲线L的对称性.),(yxf对弧长的曲线积分10例Lsyx.d)(3其中L是圆周.222Ryx解LLsysxdd3Lsyxd)(3,dLsx对因积分曲线L关于被积函数x是L上0dLsxLsy,d3对被积函数0d3Lsy因积分曲线L关于3y222Ryx对称性,计算得0是L上x=0对称,关于x的奇函数y=0对称,关于y的奇函数对弧长的曲线积分xyO11三、对弧长曲线积分的计算定理),()()(ttytxL的参数方程为上在曲线弧设Lyxf),(上在],[)(),(tt其中且][f),(t)(t)(有定义且连续,具有一阶连续导数,Lsyxfd),(解法化为参变量的定积分计算对弧长的曲线积分注意对弧长的曲线积分要求0ds(1)化为定积分的下限一定要小于上限22()()dttt(2)积分值与曲线方向无关.12特殊情形bxaxyL),(:Lsyxfd),()(baxxsd)(1d2baxf],[(1)xxd)(12)(x对弧长的曲线积分),()()(ttytxL的参数方程为dycyxL),(:Lsyxfd),()(dc(2)dcyyf]),([yysd)(1d2yyd)(12][f),(t)(t)(Lsyxfd),(22()()dttt13Lsyxfd),(d)()(]sin)(,cos)([22f),(:L(3)对弧长的曲线积分),()()(ttytxL的参数方程为特殊情形)()(),(),(:ttztytx推广szyxfd),,(tttttttfd)()()()](),(),([222)(][f),(t)(t)(Lsyxfd),(22()()dttt14),(),(yxgzyxfz0),,(0),,(21zyxzyx或此时需把它化为参数方程中某一个选择zyx,,(再按上述方法计算.对弧长的曲线积分为参数),L如果积分路径是两个曲面的交线15例1解例2)20(.,sin,cos:,d的一段其中求kzayaxsxyzI解kaI202sincos22221kaka.)2,2(2,d2的一段上自原点到为其中求xyLsyIL20yI)155(31xy22)20(y22yxd22kayyd12对x积分?)2,2(对弧长的曲线积分xy22xyO16例3).0(222xRyxABCL解xysd1d2xyyxd222xyRd||Lsyd||xyRyRd||||0xyRyRd||||022R的如图半圆周由曲线)(ABCL⌒ABsyd||⌒BCsyd||⌒对弧长的曲线积分得xyO||d,,LysL计算其中是右半圆周即222,xyR方程17即是右半圆周其中计算,,d||LsyL).0(222xRyx解此题时也可用,轴对称关于xL故Lsyd||2xyRd22Rsyd⌒AB,||的偶函数为yyRy02对弧长的曲线积分对称性质ABCLxyO18例4.0,,d22222zyxazyxsxI为圆周其中求解由于szsysxddd222Isad32323a),d2(球面大圆周长sa有szyxd)(22231对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地位完全对称,19例5曲线是中心在(,0),R半径为R的上半圆周.求22()xyds对弧长的曲线积分提示:用极坐标20,1),(时当yxf(,)fxyL当表示位于上的SsL),(yxfz几何意义Lsd(1)(2),),(处的高时柱面在点yx对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义Lsyxfd),(柱面面积弧长L21则为下半圆周设平面曲线,12xyL).(d)(22syxL曲线积分解设下半圆周的参数方程sin,cosyx则syxLd)(22)sin(cos22d)(cos)sin(222对弧长的曲线积分通过几何直观,还有更简单的方法吗?22例6求椭圆柱面22221,(0,0)xyxyab介于xoy平面与空间曲面xyzc之间部分的面积.提示:2222:1LxyxyAdsLcab23轴的转动惯量轴及曲线弧对yx)2(,d2LxsyI曲线弧的质心坐标)3(,ddLLssxx的线密度时表示当Lyx),()(1LsyxMd),(物理意义LysxId2LLssyydd对弧长的曲线积分24例6已知螺旋形弹簧一圈的方程:cossin,02xatyattzbt弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求(1)它的质量;(2)它的重心;(3)它关于z轴的转动惯量.对弧长的曲线积分25对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长的曲线积分五、小结(四步:分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、质心、转动惯量、引力)26思考题是非题对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较小端点的参数值,上限为较大端点的参数值.是对弧长的曲线积分27作业习题9.1(170页)(A)2.(4)4.(B)1.2.对弧长的曲线积分28第二节第二类曲线积分-------向量值函数在定向曲线上的积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算三、两类曲线积分之间的联系29oxyABL问题的提出1nMiM1iM2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(11jyixMMMMiiiiii弧.ABFW30求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy31一、对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的概念,0.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义32.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP记作或称第二类曲线积分）曲线积分的上对坐标在有向曲线弧则称此极限为函数的极限存在类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L332.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLdyyxQdxyxP),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsFLdyyxQdxyxP),(),(为简便起见或者向量形式344.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR355.性质.,)2(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则方向相反的有向曲线弧是与是有向曲线弧设,,)3(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),((1)线性性质36二、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导