曲面积分的计算

已知向量A=x2i+y2j+z2k,Σ为圆柱x2+y2≤a2(0≤z≤h)的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧的通量解：dxdyzdzdxydydzxd222SAdVzyxAdv)(2div2202200hazdzdxdyzdvhDxy例5.内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP机动目录上页下页返回结束2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为),,,(RQPASnAdzRyQxPAdiv机动目录上页下页返回结束1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面习题课（2）曲面积分的计算法思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?不对!对坐标的积分与的侧有关2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化zyxo练习:,ddddddyxzxzyzyx的上侧.且取下侧,提示:以半球底面0原式=3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为,高斯公式有例1.计算为辅助面,利用其中为半球面例2.计算曲面积分其中,,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解:zyxRddd313思考:本题改为椭球面1222222czbyax时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧,然后用高斯公式.例3.计算曲面积分中是球面.22222zxzyx解:Szxd)22(SzyxId)(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式