概率第四章疑难解答

疑难问题1．随机变量的数学期望和方差，在理论和实际应用中有何意义?答随机变量X的数学期望反映X取值的集中位置，方差反映X的取值对数学期望的集中程度．()DX越小，X的取值越集中，若()0DX，则{()}1PXEX．因此，()EX和()DX粗略地反映了X取值的分布情况．另外，一些应用广泛的重要分布(如正态分布、二项分布、泊松分布等)的概率密度或分布律，完全由它们的期望与方差所确定，而期望与方差在实际问题中容易估计其值．故它们在理论和实际应用中有重要意义．2．在随机变量的数学期望的定义和随机变量函数的数学期望的计算公式中，为什么要求无穷级数或无穷积分绝对收敛?答仅就离散型随机变量来回答这个问题．若级数绝对收敛，则其和与它的项的排列次序无关．因为随机变量的数学期望反映它的取值的集中位置，自然不应随排序的主观性而改变，所以要求级数绝对收敛．3．随机变量的数字特征与其分布有何关系?答随机变量的数字特征完全由它的分布确定，但反之不然．即使两个随机变量有完全相同的各阶矩，它们的分布也不一定相同．例如，随机变量X和Y的概率密度分别为()exp(cos),0aXfxcxax，()[1sin(cos)]exp(cos),0aaYfycyayay，其中1cos0,2(1/)aaaaca，显然，它们的分布不同，但直接计算可以验证()(),1,2,kkEXEYk4．相关系数XY反映随机变量X和Y的什么特性?答XY是一个用来反映X和Y之间线性关系程度的数字特征．当X和Y存在线性函数关系(0)YabXb时，则YX,＝cov,||()()XYbbDXDY，即||1XY．另一方面，若||1XY，则X和Y之间以概率1存在线性关系，即存在常数a和b，使{}1PYabX．若||XY越接近1，X和Y的线性相关程度越好；若XY越接近0，X和Y的线性相关程度越差；若0XY，则称X和Y不相关．5．两个随机变量相互独立和不相关有何关系?答设随机变量,XY的二阶矩存在，且()0,()0DXDY.若X和Y相互独立，则X和Y不相关，但反之不然．设随机变量,~U，cos,sinYX，容易验证()0EX，()0EY，1()2DX，1()2DY，()0EXY，所以0,YX，即YX,不相关．YX,虽无线性关系，但显然有122YX，故YX,不独立．以上是就一般情形而言的，但对于两个正态变量，相互独立与不相关是等价的．6．公式()()()EXYEXEY和()()()DXYDXDY成立的充要条件是什么?答设XY存在．这两个公式成立的充要条件都是X，Y不相关，X，Y相互独立是他们成立的充分但不必要条件．7．试举出期望不存在的例子.答1)设X的概率密度为21(),(1)fxxx，则()EX不存在；2)设X的分布律为1(1)32{},1,2,3kkkPXkk，则()EX不存在．