北京中考第二轮复习讲解(一)二次函数与一元二次方程的综合

课外学业辅导讲义张老师整理150102515861第一讲：二次函数与一元二次方程的综合内容要求中考分值考察类型二次函数与一元二次方程综合题会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解7二次函数与一元二次方程1.熟练掌握二次函数的有关知识点2.掌握二次函数与一元二次方程的联系。【例1】（2015怀柔1※27）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数.（1）求a的值.（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，令y=0，则（a-1）x2+2x+1=0，∴=4-4(a-1)0，解得a≤2.…………………………………1分.∵a为正整数.∴a=1、2又∵y=（a-1）x2+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为2.………………………………………2分（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1，将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位后的表达式为y=（x+1-m）2-（m2+1）.此时函数的顶点坐标为（m-1,-m2-1）.…………………………………4分当m-1＜-2，即m＜-1时，x=-2时，二次函数有最小值-3，∴-3=（-1-m）2-（m2+1），解得32m且符合题目要求.………………………………5分当-2≤m-1≤1,即-1≤m≤2,时，当x=m-1时，二次函数有最小值-m2-1=-3，解得2m.∵-2m不符合-1≤m≤2的条件，舍去.∴2m.……………………………………6分当m-1＞1，即m＞2时，当x=1时，二次函数有最小值-3，∴-3=（2-m）2-（m2+1），解得32m,不符合m＞2的条件舍去.例题精讲方法策略考试要求中考第二轮复习代数综合题yx11O27题图课外学业辅导讲义张老师整理150102515862Oyx综上所述，m的值为32或2……………………………………7分【例2】（2015昌平1※23）已知二次函数22(1)(31)2ykxkx．（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐标.23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在x轴上，∴2-4=0bac，且0a≠……………………1分即22314210ak，且2-10k≠=3k……………………3分（2）∵二次函数与x轴有两个交点，∴2-40bac＞，且0a≠．……………………４分即2-30k（）＞，且±k≠1．当3k且1k时，即可行．∵A、B两点均为整数点，且k为整数∴1222-1+-3-1+-3-42====-1-1-1+1kkkkkxkkkk（3）（）342（）2（）2（）2222-1--3-1-+3+21====-1-1-1-1kkkkkxkkkk（3）（）322（）2（）2（）……………………5分当=0k时，可使1x，2x均为整数，∴当=0k时，A、B两点坐标为(-10)，和(20)，……………………6分【例3】（2015门头沟1※27）已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．（1）证明：∵△=(m+1)2－4×(－1)×(m+2)=(m+3)2.……………………………………………………………1分∵m＞0，∴(m+3)2＞0，即△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.…………………………………2分（2）解：∵抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），∴－32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3分∴m=1.∴y=－x2+2x+3.………………………………………………………4分课外学业辅导讲义张老师整理150102515863（3）解：∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，∴该抛物线的顶点为（1，4）.∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时，∴4=k(1+1)+4，∴k=0，∴y=4.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4.………………………5分∵y=－x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，∴该抛物线与y轴的交点为（0，3）.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3.………………………6分∴3＜t≤4.…………………………………………………………………7分【例4】（2014门头沟1※23）已知关于x的一元二次方程04)15(22mmxmx.（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；（3）抛物线mmxmxy224)15(与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE，如图11，点C（0，-5)，D（6，-5)，E（6，0),当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．.解：(1)证明：Δ=)4(14)]15([22mmm………………1分=1692mm=2)13(m∵2)13(m≥0，………………2分∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.（2）解关于x的一元二次方程04)15(22mmxmx，得14,21mxmx.………………3分由题意得31488143mmmm或………………4分解得821m.………………5分课外学业辅导讲义张老师整理150102515864（3）5h或94h.……………7分逆袭训练1.（2015通州2※27）已知关于x的方程mx2－(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x的二次函数y=mx2－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．.解：(1)△=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1，=（m+1）2；∴△=（m+1）2≥0，………………………………………….(1分)∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；(2)设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0由求根公式得，x1=2，，…………………………….(2分)∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x2=0或x2=4，∴m=1或)当m=1时，y=x2-2x，，∴抛物线解析式为y=x2-2x当时,382312xxy答：抛物线解析式为y=x2-2x；或382312xxy……….(3分)2.（2015朝阳2※27）已知：关于x的一元二次方程22(1)20(0)axaxaa．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x，2x（其中1x＞2x）．若y是关于a的函数，且21yaxx，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231ya，则自变量a的取值范围为．（1）证明：22(1)20(0)axaxaa是关于x的一元二次方程，2[2(1)]4(2)aaa··················································································1分=4．即0．方程有两个不相等的实数根．··········································································2分（2）解：由求根公式，得2(1)22axa．∴1x或21xa．······························································································3分课外学业辅导讲义张老师整理1501025158650a，1x＞2x，11x，221xa．····························································································4分211yaxxa．即1(0)yaa为所求．………………………………………………………5分（3）0＜a≤23．…………………………………………………………………………7分3.（2015石景山2※27）已知关于x的方程231220mxmxm．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数23122ymxmxm的图象经过坐标原点，得到抛物线1C．将抛物线1C向下平移后经过点0,2A进而得到新的抛物线2C,直线l经过点A和点2,0B，求直线l和抛物线2C的解析式；（3）在直线l下方的抛物线2C上有一点C，求点C到直线l的距离的最大值．解：（1）当0m时，2x当0m时，231422mmm2296188mmmm22211mmm∵210m，∴0综上所述：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分（2）∵二次函数2(31)22ymxmxm的图象经过坐标原点∴220m∴1m………………………4分抛物线1C的解析式为：22yxx抛物线2C的解析式为：222yxx设直线l所在函数解析式为：ykxb将A和点2,0B代入ykxb∴直线l所在函数解析式为：2yx………5分（3）据题意：过点C作CEx轴交AB于E，可证45DECOAB,则22ECCD设2,22Cttt，,2Ett，03t∴ECECyy23tt23924t………………………6分∵3032∴当32t时，max94EC∵CD随EC增大而增大，xyOByxEDCBAO课外学业辅导讲义张老师整理150102515866∴max928CD为所求.………………………7分4.（2015顺义2※27）已知关于x的方程2230xmxm．（1）求证：方程2230xmxm总有两个实数根；（2）求证：抛物线223yxmxm总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的“定点”记作A，抛物线223yxmxm与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围．解：（1）24bac=2243mm........................................................1分=244412mmm=2816mm=24m∵240m，∴方程2230xmxm总有两个实数根．..........................