第二类曲线积分

第二类曲线积分第二节第十章一、第二类曲线积分的概念及性质二、两类曲线积分之间的联系三、第二类曲线积分的计算一、第二类曲线积分的概念及性质1.问题引入“分割，近似,求和,取极限”变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用L:AB,解决办法:求移动过程中变力)),(,),((),(yxQyxPyxF联想：恒力沿直线做功所作的功W.cosABFWABFABF2º取近似把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有kkkkyηξQxηξP),(),(kk所做的功为F沿kkkkMMηξFW1k),(nkkWW1则用有向线段在上任取一点1kMkMABxyL),(kkFky1º分割kx4º取极限nkW1]),(),([kkkkkkyξQxPnkλW10limkkkkkky)ΔηQ(ξx)ΔηξP,,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中为n个小弧段的最大长度)3º求和变力沿曲线所作的功设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在(与分割和取点无关),niiiiiiiyQxP10]),(),(lim在L上定义了一个有界向量函数极限)),(,),((),(yxQyxPyxF2.定义10.2niiiiλrηξF10),(lim,jyixriii其中LryxFd),(F(x,y)在有向曲线弧L上的第二类曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(或对坐标的曲线积分，记作nikkkkkkλyηξQxηξP10]),(),(lim},|Δ|{max1inirλ则称此极限值为向量值函数积分曲线LryxFd),(第二类曲线积分的向量形式LyyxQxyxPd),(d),(第二类曲线积分的坐标形式LxyxPd),(LyyxQd),(对x的曲线积分;对y的曲线积分.注1°关于第二类曲线积分的几个术语2°若为空间曲线弧,)),,(,),,(,),,((),,(zyxRzyxQzyxPzyxF3°如果L是闭曲线,则对坐标的曲线积分记为LLyyxQxyxPrFd),(d),(d4°对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!5°变力沿曲线所作的功LyyxQxyxPWd),(d),(线性性质：)1(可加性：)2(21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxFLLLryxFβryxFαryxFβyxFαd),(d),(d)],(),([2121组成和由21LLL性质1R，L1L2(3)有向性:用L－表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(这是第一类和第二类曲线积分的一个重要区别对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向.,)()(tytxL：设有向平面曲线弧的方向角同方向的切向量处与上点LyxL),(二、两类曲线积分之间的联系起点：Aa，终点：Bb定理，则为,LyyxQxyxPd),(d),(LsβyxQαyxPd]cos),(cos),([曲线L的方程的向量形式：))(),(()(tttrr:)()(lim)(0ttrttrtrtxyOABL)(trM(x,y))(ttrr)(tr的终点处切向量，在曲线)(trL其指向与参数t增大时曲线L上的点移动的方向一致.)(ba)(ba)(tr证ttrrd)(dtttd))(),(()d,(dyx22)(d)(ddyxs|d|r.)(d的方向一致同方向，从而与与故Ltrr时，当ba1沿着L的方向移动时，参数t增加.于是)1(dedsrr0dt另一方面，一方面时，当ba20dt沿着L的方向移动时，参数t减少.)2(d)e(dsrr于是.)(d的方向一致方向相反，而与与故Ltrr综合(1)、(2)，得srLded.e同方向的单位切向量是与其中LLttrrd)(d|)(|)(etrtrr其中))()()(,)()()((2222tttttt)cos,(coseLssrLd)cos,(cosded时当，时当babarre,eLryxFd),(LLsyxFde),()),(,),((),(yxQyxPyxF)d,(ddyxr)cos,(coseLLyyxQxyxPd),(d),(.d]cos),(cos),([LsβyxQαyxP可以推广到空间曲线上从而,)()()(cos22ttt,)()()(cos22ttt,dcosdsαx,dcosdsytttsd)()(d22.”号时，取“当”号；时，取“当baba注将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解(方法1)oyxB,2:2xxyL221xxxy其中L沿上半圆周例120:x)(ba切向量),1()(yxrT与L方向一致.其方向余弦：211cosy221xxxy22xx21cosyyx1syxQxyxPxxLd)],()1(),(2[2oyxB,sincos1:tytxL0π:t)(ba切向量)cos,sin()(tttr与L方向相反.与L同方向的切向量：)cos,(sin)(tttrTtsincos其方向余弦：ytcoscosx1…….,22xx(方法2),22xxx1yyxQxyxPLd),(d),(22xx)1(x,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212oyxBBOLs弧长(方法3)三、第二类曲线积分的计算定理10.2设L是一条平面有向光滑曲线弧，)()(tψytφx,:bat,0)()(22tt其参数方程为则有battP)](),([)(t)(tψtd)](),([tψtφQ首先证明：LxyxPd),(ttttPbad)()](),([由两类曲线的关系，得LLsαyxPxyxPdcos),(d),(证再由第一类曲线积分的计算法，得LsαyxPdcos),(时；当babattP)](),([)()()(22ttttttd)()(22时；当batt,d)(.时当baabttP)](),([)()()(22ttttttd)()(22.,d)]([时当battttttPbad)()](),([同理可证tttQbad)](),([)(tψbattP)](),([)(tφ)(tψtd)](),([ttQLxyxPd),(ttttPbad)()](),([即可；代入上式，且同时换限.注1°),(),(tψytφxa不一定小于b!即计算定积分：BLbALa的终点上限的起点下限2º如果L的方程为,:),(baxxψyxxψxQxψxPbad)](,[)](,[)(xψ3º对空间光滑曲线弧:)(t)(t)(t)](,)(),([{tttPβαttωztψytφx:)()()(思考定积分第二类曲线积分是！baxxfd)(是否可看作第二类曲线积分的特例?xObaABxxfd)(ABxOabABbaxxfd)(,dLxyx其中L为沿抛物线xy2解(方法1)取x为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd54d21023xxxyxy从点的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx例2计算注意积分路径的表示形式yyyyxyxLd)(d2112(方法2)取y为参数,则)1,1(B)1,1(Aoyx-11注意积分路径的表示形式其中L为,:,0aaxyyBAoaax(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解(1)L:,d2xyLxyLd232a(2)L:ttatad)sin(sin2π02132334a0则则例3计算沿不同的路径积分，其结果不同yxo,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线;10:,:2xxyL(2)抛物线;10:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解(1)原式xxd4103(2)原式yyy222(3)原式102d)002(xxx1)0,1(A)1,1(B2yx2xy10(yyd)410d)102(yy11例4计算沿不同的路径积分，所得到结果相同例5计算,dd3d223zyxyzyxx其中Γ是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.解直线AB为:内容小结LryxFd),(LyyxQxyxPd),(d),(nikkkkkkλyηξQxηξP10]),(),(lim1.定义2.性质LLLryxFβryxFαryxFβyxFαd),(d),(d)],(),([212121d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxFLLryxFryxFd),(d),(3.计算)()(tψytφx,:βαtβαtψtφP)](),([)(tφ)(tψtd)](),([tψtφQ4.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!5.两类曲线积分之间的关系LyyxQxyxPd),(d),(LsβyxQαyxPd]cos),(cos),([解例3-1是：其中（计算LyxyxyxL,dd)22)11()01()00()1(，、，、，由BAO三点连成的折线段；；，到沿圆弧，由)11(2)00()2(2BxxyO).11(()00()3(，是正的实数）到沿曲线，由BnxyOnyxyxyxLdd)()1(22ABOA65dd10102yyxx备用题的方程化成参数式：把L)2(.π2π,sin,cos1ttytxyxyxyxLdd)(222ππ22)sin(sin)sin()cos1[(ttttttttd]cossin)cos1(π2π2dsin)cos(costttt22xxy.61)cos21cos31(π2π23ttyxyxyxLdd)()3(22101231213nxnnxnxy曲线10222d)(xnxxxnn.12131nn,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI,21:22zyxyx从z轴正向看为顺时针方向.ozyx解的参数方程:,sin,costytx)0π2:(sincos2tttztttcos)sincos22(ttd)cos41(2π20π2例5-1求