现代控制理论-第2章-状态空间分析法

第一部分线性系统理论经典控制理论描述系统数学模型的方法：外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输出关系的传递函数；电机现代控制理论描述系统数学模型的方法：内部描述：一阶微分方程（时域）从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。电机内部工作原理点击观看利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈。线性系统理论的主要内容：状态空间分析法线性系统内部特性线性系统状态空间的综合设计经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：系统模型为单输入单输出系统；忽略初始条件的影响；不包含系统的所有信息；无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。第二章状态空间分析法复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。本章主要内容§2.1状态空间描述的基本概念§2.2线性定常连续系统动态方程的建立§2.3线性定常连续系统状态方程的解§2.4动态方程与传递函数矩阵§2.5线性离散系统的动态方程及其解§2.1状态空间描述的基本概念一状态变量状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。当系统能用最少的n个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。12,,,nxtxtxt状态变量选取的特点：状态变量的选取具有非唯一性：即可用某一组，也可用另一组数目最少的变量。状态变量个数的选取具有唯一性：二状态向量把描述系统状态的n个状态变量看作向量X(t)的分量，则X(t)称为状态向量，记以,上标T为矩阵转置记号。若状态向量由n个分量组成，则称n维状态向量。一旦给定时的初始状态向量及的输入向量，则的状态由状态向量唯一确定。1nxtxt，，1[]Tntxtxtx，，0tt0tx0tttu0tttx三状态空间以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如二阶系统的状态可由轴、轴组成的状态平面（即相平面）中一点表示；三阶系统的状态可由轴、轴、轴组成的三维状态空间中一点来表示；n阶系统的状态则由轴，…，轴组成的n维状态空间中一点来表示。初始时刻的状态在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。1x2x3x1x2x1xnx0t0tx四状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。状态方程一阶微分方程或差分方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。故系统的状态方程具有非唯一性。一般形式的状态方程：式中常系数与系统特性有关。111,nnnaabb，，；，11111221122112222211122nnnnnnnnnnnxtaxtaxtaxtbuxtaxtaxtaxtbuxtaxtaxtaxtbu(2-1)称系统矩阵（系数矩阵，状态阵），称输入矩阵（在此为列矩阵）。12nxxxx12nxxxx111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA12nbbbb式中方程（2－1）可写成向量矩阵形式：ttutxAxb(2-2)多输入（含p个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：1111111112211221121111nnppnnppnnnnnnnppxtaxtaxtbubuxtaxtaxtbubuxtaxtaxtbubu(2-3)方程(2-3)的向量－矩阵形式为ttxAxbu(2-4)式中u为p维列向量，B为输入矩阵，或称控制系数矩阵，有np111212122212nnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB12nxtxttxtx12puuuu五输出方程系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程，它是一个代数方程。单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：式中常系数与系统特性有关。可写成向量矩阵形式：1nccd，，；()yttdutcx(2-6)1122nnytcxtcxtcxtdut(2-5)式中为输出矩阵（在此为行矩阵），d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。12ncccc，，，多输入－多输出（含q个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：1111111111111nnppqqqnnqqppycxcxduduycxcxdudu(2-7)其向量－矩阵形式为yCxDu(2-8)式中12qyyyy1112112122212nqqqncccccccccC1112121222111ppqqqpdddddddddD12uuupuC为输出矩阵，D为前馈矩阵。()qp()qn六状态空间表达式状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。单输入－单输出系统动态方程一般形式为式中为维状态向量，u与y为标量，A为n阶方阵，b为向量，c为向量，d为标量。xnnp(1)nuyduxAxbcx，（2-9）多输入－多输出系统动态方程一般形式为xAxBuyCxDu，（2-10）式中x为向量，u为向量，y为向量，A为n阶方阵，B为矩阵，C为矩阵，D为矩阵。由于完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为系统。1n(1)p1qnpqpqnABCD、、、ABCD、、、动态方程的结构图表示见图2－1，各方块的输入－输出关系规定为:输出向量＝（方块所示矩阵）×（输入向量）注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。图2－1动态方程的结构图表示七状态空间分析法以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字计算机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。倒立摆控制系统航天器控制系统机器人控制系统导弹控制系统§2.2线性定常连续系统动态方程的建立线性定常连续系统的动态方程的形式：一般形式典型形式xAxBuyCxDu，一物理系统动态方程的建立实际物理系统动态方程的建立的原则：根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程；选择可以量测的物理量作为状态变量。例2-1设机械位移系统如图2-2所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移x及其速度、加速度。图中m、k、f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。xx图2－2双输入-三输出机械位移系统点击观看解据牛顿力学，故有显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选和作为状态变量。设，三个输出量为，可由微分方程导出下列动态方程：mxfxvkxFxx12xxxx，123yxyxyx，，12221112232111xxxxfxvkxFmyxyxyfxvkxFm其向量-矩阵形式为xAxBuyCxDu，式中1200001xFkffxvmmmmxuAB123100001001yyykffmmmmyCD例2-2设空间飞行器如图2-3所示。利用本体坐标系和飞行器本地垂线参考坐标系，试求空间飞行器的动态方程。图2－3空间飞行器点击观看解：空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋转Euler角即俯仰角、偏航角和滚动角可以唯一的确定飞行器的定向。利用动力矩定理和动量定理，同时考虑姿态偏移小、速度低、动量小及忽略惯量直积的情况下，可得俯仰轴方向的线性化方程为：2222222222010030010001nIuhh而滚动轴和偏航轴方向的线性化方程为：其中11332111113211331133010000000100003000000000001100000100000001nnunnunIIhnhhnh2311III3122III1233III状态变量图将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数，经积分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形，便是状态变量图。它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。s例1-1的状态变量图见图1-3，图中为拉普拉斯算子。s图2-4例2-1状态变量图二由微分非常或传递函数建立动态方程1实现：对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一，最小实现也不唯一。设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：1(2)1210(1)(2)1210nnnnnnnnnyayayayayuuuu(2-11)式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为121210121210()()nnnnnnnnnNsyssssGsDsussasasasa(2-12)2典型实现：1.能观测标准形实现设11,1niiiixyxxayuin，(2-13)其展开式为111112122112223344232212222212231211112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxayuyayuxxayuyayuayuxxayuyayuayuayuxxayuyayuay3211nnuayu考虑式(2-11)可得10000nxayuaxu故有状态方程：10021111222111nnnnnnnnnnnnxaxuxxaxuxxaxuxxaxu(2-14)输出方程为nyx(2-15)其向量-矩阵形式为uyxAxb