现代控制理论-第十章-二次型性能指标的线性系统最优控制

第十章二次型性能指标的线性系统最优控制在实际工程问题中，二次型性能指标的线性系统最优控制问题具有特别重要的意义。这是由于：二次型性能指标具有鲜明的物理意义，它代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求；在数学处理上比较简单，可求得最优控制的统一解析表示式；特别可贵的是可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制，这一点在工程实现上具有重要意义。因此二次型性能指标的线形系统最优控制问题被广泛应用到各种工程实际中，例如：导弹的角度控制、电冰箱的温度控制等。电冰箱温度控制导弹角度控制二次型性能指标线性系统最优控制问题可以描述如下：设线性系统状态方程及输出方程为：()()()()()xtAtxtBtut()()()ytGtxt(10-1)(10-1)式中，为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量。假设：；不受约束；为理想输出，与同维数，并定义()xtn()utm()ytr0nmr()ut()zt()yt()()()etztyt为误差向量。(10-3)这里，权函数，为正半定矩阵，为正定矩阵。假定固定。要求寻找最优控制，使性能指标为最小。F()Qt()Rtft()utJ性能指标为011()()[()()()22()()()]ftTTtttTJetFetetQtetutRtutdt(10-4)这里，被积函数的第一项代表整个过程中误差的大小。由于的正半定性，决定了这一项的非负性；被积函数的第二项代表控制功率的消耗，其积分表示整个过程中控制能量的消耗。由于的正定性，决定了这一项总为正，由于这个原因，对往往不需再疑义约束，而常设为自由的；指标函数的第一项表示终值误差。从理论上讲，被积函数的第一项已经包括了终端误差的万分，但如需特别强调终值误差，则可加上此项。1()()()2TetQtet()et()Qt1()()()2TutRtut()Rt()ut()ut1()()2TlletFet矩阵则是用来权衡各个误差成分及控制分量相对重要程度的加权阵。这里，及可以是时间函数，以表示在不同时刻的不以加权。()()FQtRtQR因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控制能量来获得较小误差的最优控制。下面，我们将分别讨论几种特殊情况：⑴状态调节器问题。它对应于及的情况。这时要求用不大的控制能量以保持状态在零值附近。()CtI()0zt⑵输出调节器问题。它对应于的情况。这时要求用不大的控制能量以保持输出在零值附近。()0zt⑶跟踪器问题。这时，它要坟用不大的控制能量使输出量跟踪。()0zt()yt()zt第一节线性连续系统状态调节器问题设线性系统的状态方程为()()()()()xtAtxtBtut(10-5)终端时刻固定。要求寻找最优控制，使性能指标为最小。ft()utJ不受约束，性能指标为()ut011()()[()()()22()()()]ftTTfftTJxtFxtxtQtxtutRtutdt(10-6)这个问题的求解可以用极小值原理或动态规划法，这里，我们应用极小值原理来求解。首先列写哈密尔顿函数11(,,,)()()()()()()22()()()()()()TTTTHxutxtQtxtutRtuttAtxttBtut(10-7)由此可得正则方程()()()()()xtAtxtBtut()()()()()THtQtxtAttx(10-8)(10-9)由于控制不受约束，控制方程满足()()()()0THRtutBttu(10-10)由于的正定性保证了存在，从而才可能存在。()Rt1()Rt()ut由此可得：1()()()()TutRtBtt(10-11)将式（10-11）代入正则方程1()()()()()()()TxtAtxtBtRtBtt()()()()()TtQtxtAtt(10-12)(10-13)这是一组一阶线必微分方程，其边界条件为：00()()xtxt及横截条件1()()()()()2TffffftxtFxtFxtxt(10-14)(10-15)由于横截条件中与存在线性关系，而正则方程又是线性的。因此可以假设，在任何时刻与均可以存在如下线性关系；()fxt()ftx()()()tPtxt(10-16)对式（10-16）求导()()()()()tPtxtPtxt(10-17)将式（8－12）、式（8－16）代入式（8－17）1()[()()()()()()()()]()tPtPtAtPtBtRtBtPtxt(10-18)将式（8－16）代入式（8－9）()[()()()]()TtQtAtPtxt(10-19)由此可得：1[()()()]()[()()()()()()()()]()TTQtAtPtxtPtPtAtPtBtRtBtPtxt(10-20)上式应对任何均成立，故有x1()()()()()()()()()()]()TTPtPtAtAtPtPtBtRtBtPtQt该式称为矩阵黎卡提微分方程，它是一个阶非线性矩阵微分方程。(10-21)它是一个阶非线性矩阵微分方程。比较式（10-15）及式（10-16），可知式（10-21）的边界条件为：()fPtF(10-22)由黎卡提微分方程解出后，代入式（8－11），可得最优控制规律为：()Pt1()()()()()TutRtBtPtxt(10-23)下面对以上结论作几点说明：⑴优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制。这一点在工程上具有十分重要的意义。闭环最优控制的结构原理图如图10-1。图10-1闭环最优控制结构图⑵可以证明（略），是一个对称阵。由于它是非线性微分方程之解，通常情况下难求得解析解，一般都需由计算机求出其数值解，并且由于具边界条件在终端处。因此需要逆时间方向求解，并且必须在过程开始之前就将解出，存入计算机以供过程中使用。由于黎卡提微分方程与状态及控制变量无关，因此在定常系统情况下，预先算出可能的。()Pt()Pt⑶是时间函数，由此得出结论，即使线性系统是时不变的，为了实现最优控制，反馈增益应该是时变的，而不是常值反馈增益。这一点与经典控制方法的结论具有本质的区别。()Pt⑷将最优控制及最优状态轨线代入指标函数，最后可求得性能指标的最小值为：（证明略）。0001()()()2TJxtPtxt(10-24)例10-1设线性系统状态方程为：122()()()()xtxtxtut初始条件为：不受约束，固定，性能指标为：12(0)1,(0)0,()xxutft22101[()()]2ftJxtutdt最求最优控制，使性能指标为最小。()utJ解:本例相应的具有关矩阵为：010,001AB100,,100FQR设：11122122()()()()()ptptPtptpt将代入式ABQRP，，，，11121112112121222122212211121112212221221112211222221111222222201000010010011000000ppppppppppppppppppppppppppppppp1221111222211222121122210001ppppppppppp根据等号两边矩阵的对应元素就相等，可得下列方程：1112211211122221112221222122212pppppppppppppp已知为对称矩阵，故，上式可变成：p1221pp2111212111222222121212ppppppppp已知，上列方程的终端边界条件为：0F111222()()()0fffptptpt上式的求解一般由计算机进行，将的解代入式（10-23）可得最优控制为：()Pt1112112222121222(),()()()[0,1]()()()()()()()ptptxtutptptxtptxtptxt第二节时线性定常连续系统状态调节器问题ft为常值矩阵，并满足为正半定的，为正定的。求最优点控制，使性能指标为最小。,QRQR()utJ设线性系统状态方程为()()()xtAxtBut(10-25)这里，为常值矩阵，不受约束，性能指标为,AB()ut01[()()()()]2TTtJxtQxtutRutdt(10-26)这里讨论的问题与第二节相比，有以下几点不同：1.系统是时不变的，性能指标的权矩阵为常值矩阵。2.端时刻。在前节讨论已知，即使线性系统是时不变的，求得的反馈增益矩阵是时变的，这使系统的结构大为复杂。终端时刻取作无穷大，目的是期望能得到一个常值反馈增益矩阵。ftft3.终值权矩阵，即没有终端性能指标。这是因为人们总在关注系统在有限时间内的响应，当时，这时的终值性能指标就没有多大实际意义了，并且终端状态容许出现任何非零值时，由于积分限为，都会引起必须指标趋于无穷。0Fft0[,]t4.要求受控制系统完全可控，以保证最优系统的稳定性。在前节讨论控制区间为有限时，即使出现某些状态的不可控制情况，其以性能指标的影响通常总是有限的，因此最优控制仍然可以存在。但是，当控制区间为无限时，如果出现状态不可控，则不论采取什么控制，都将使性能指标趋于无穷大，也就无法比较各种控制的优劣了。0[,]ftt在注意到以上几点差别后，就可按照前节所述方法来求解最优控制了，可以得到相似的结果如下：最优控制存在并唯一，其形式为1()()()TutRBPtxt(10-27)为黎长提微分方程（10-21）之解，但因为这时，其边界条件应为：()Pt0F()()0fPtP(10-28)性能指标的最小值为0001()()()2TJxtPtxt(10-29)下面，着重讨论一个黎卡提微分方程解的性质。一般情况下，曲线的形状大致如图10-2所示。可能看到，曲线具有以下性质：()Pt()Pt图10-2曲线大致形状()Pt2.在接近终端时变化比较剧烈。()Pt3.但在远离终端时，慢慢趋于某个常值。()PtP1.时，。ft()0fPt由此，可以把曲线看作以作为起始时刻，作为起始值，逆时间方向进行的一个过程。当离终端时刻足够远时，这个过程已经逐渐衰减并趋于其。由于的过渡过程存在于靠近终端区域，因此最优系统的有限控制区间总是远离终端的，从而实际可以采用稳态值，即。这里显然满足时的黎卡提微分方程()Ptft()0fPttftP()Pt()Pt()PtPP()0Pt10TTPAAPPBRBPQ(10-30)上式称为黎卡提矩阵代数方程。这是一个非线性代数方程，求解式（10-30）可得稳态值。这了保证最优系统的稳定性，必须是正定的（证明略）。这样，得到了所期望的结果，即：最优控制为状态线性反馈，并且反馈增益为常值。由此可以构成线性时不变的状态调节器，使结构大为简化，这一点在工程实现上具有很大实用意义。闭环最优控制的结构图如图10-3所示。PP图10-3最优控制的结构图例10-2设系统状态方程为122()()()()xtxtxtut不受约束，性能指标为：()ut222112201()2()2()2Jxtxtxtxttdtu寻求最优控制，使性能指标为最小。()utJ解:本例的有关矩阵为：01011,,,100112ABQR可见及矩阵均为正定的，并QR01[,]210rank