线代复习资料

1第一讲行列式（一）基本内容1.逆序数；2.n阶行列式的定义；3.行列式的性质：1）行列式与其转置行列式相等；2）对调行列式的两行（列），行列式的值只改变符号；3）行列式某行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面；4）行列式中若有两行（列）完全相同，或有一行（列）的元素全为零，或有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零；5）1112111212222212()()()jjnjjnnnnjnjnnaabcaaabcaDaabca6)把行列式某行（列）的元素同乘以一数加到另一行（列）的对应元素上后，行列式的值不变.4.行列式的展开定理：1）行列式D等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122,iiiiininDaAaAaA或1122.ttttntntDaAaAaA2）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,(),ijijinjnaAaAaAij或11220,().ijijninjaAaAaAij5.克莱姆法则；6.若n元齐次线性方程组AXo有非零解，则它的系数行列式0A.（二）综合举例例1计算3.abacaeDbdcddebfcfef解先提取第1，2，3行的公因式，再提第1，2，3列的公因式，得到3111111111bceDadfbceabcdefbce111100111120111102abcdefabcdef4.abcdef例2已知1998，2196，2394，1800都能被18整除，不计算行列式的值，证明下行列2式能被18整除：419982196.23941800D证法1因1829为合数，且4D的第3，4两列分别可被9，2所整除，由行列式性质，4D可被18整除.证法2将4D的第1，2，3列分别乘以3210,10,10,且都加到第4列，得到419919982192196.23923941801800D因上行列式第4列能被18整除，故4D能被18整除.例3计算n阶行列式1）;nabbbabDbba2）.nxbaaaaxbaaDaaaxb解1）将其它各列统统加到第1列，并提出公因式得11[(1)].1nbbabDanbba再将第1行的（-1）倍分别加到其它各行得110[(1)]00nbbabDanbab1[(1)]().nanbab2）由1）得1[()(1)]().nnDxbnaxba例4计算行列式123123123123nnnnnxaaaaaxaaaaaxaaDaaaxa解从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，可得312310000000000000nnnxxxxxDxxaaaaax从第1列开始，每列加到后1列，得1221231000000000nniixxxDaaaaaaxa11().nniixxa例5计算行列式00010001000001nD解按第1行展开得11100000001000000001nnnDD12nnDD即211223nnnnnnDDDDDD221nDD1D；22221D所以2221nnnDD12nnnD212nnnD2332212nnnnnD122221nnnnnn例11222244441111abcdDabcdabcd.4答()()()()()()()abcddadbdccacbba若令222221333334444411111(),abcdxDxabcdxabcdxabcdx那么1()Dx为一个范德蒙行列式，所以1()()()()()()()()()()().Dxxaxbxcxddadbdccacbba（1）但D是1()Dx中3x的系数的相反数，由（1）式知1()Dx中关于3x的系数为()()()()()()().abcddadbdccacbca故()()()()()()().Dabcddadbdccacbba例6已知方程组123123123111xxxaaxxaxaxaxx讨论a取何值时方程组有惟一解？并求其惟一解.解用克莱姆法则，方程组的系数行列式1111001111111110Daaaaaaa所以当1a时，方程组有惟一解.且有131111101111111111aaarrDaaaaaa11111111aaaaa211aaa132110101111111111aarrDaaaaaa11111aaaa2131311111110111011rraarrDaaaaaa221111aaaaaa且方程组有惟一解为21122233/1/1/xDDaaxDDxDDa即2122311xaaxxa（三）模拟试题1.设行列式30402222,07005322D则第四行各元素余子式之和的值为.5答28．以ijA表示ija的代数余子式，则41424344AAAA040340300304222222222222700000070070560421402.若12312,,,,都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,mn则四阶行列式32112等于（）（A）mn（B）mn（C）nm（D）mn答（C）.由行列式的性质，可得321123211321212311223,mn故选（C）.3.已知实矩阵33ijAa满足条件；1）,1,2,3,ijijaAij其中ijA是ija的代数余子式；2）110.a计算行列式.A解因为,ijijaA所以,TAA于是由,TAAAAAE两边取行列式，得23,AA从而1A或0.A由110,a可知111112121313AaAaAaA2221112130,aaa故1.A4.设11232222231231111123111111,,,11nnnnnnnnxaaaaxAXxBaaaaxaaaa其中(;1,2,,).ijaaijin则线性方程组TAXB的解是；答(1,0,,0).TX方程组TAXB的系数行列式0TAA，（范德蒙行列式），故有惟一解.按克莱姆法则，iiiTDDxDA(1,2,,),in其中iD是以向量B代替TA的第i列所得的行列式.由行列式的性质得12,0.TnDADD因而解为(1,0,,0).TX5.设,AB均为n阶矩阵，2,3,AB则12AB；答212.3n6由2,AAAEE得12,AA所以211111142244.3nnnABABABAB6.设123,,均为三维微量，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).AB如果1A，那么.B答2.B第二讲矩阵（一）基本内容1.矩阵的概念:由mn个数(1,2,;1,2,,)ijaimjn排成的m行、n列的矩形数表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为mn矩阵，简记为mnA或()ijmnAa，其中ija称为A的第i行第j列的元素.当mn时，称A为n阶方阵.当两个矩阵的行列数相等时，称它们为同型矩阵.2．矩阵的运算：1）矩阵的相等：设(),()ijijAaBb为同型矩阵，若(1,2,,;1,2,,)ijijabimjn则称矩阵A与矩阵B相等，记为AB；2）矩阵加法：设(),()ijijAaBb为同型矩阵，若()ijABCc，其中ijijijcab称为矩阵A与B的和；3）矩阵的数量乘法：设()ijmnAa，为常数，定义()ijmnAa为数与矩阵A的数量乘法，简称数乘；特别地，称矩阵的加法与数乘运算为矩阵的线性运算.4）矩阵乘法：设(),()ijmsijsnAaBb，定义()mssnmnijmnABCc，其中1(1,2,,;1,2,,)nijikkjkcabimjn为矩阵A与B的乘积，简记为AB；3.特殊矩阵：主要有零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上（或下）三角矩阵、数量矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、初等矩阵等.74.矩阵的转置：将矩阵()ijmnAa的行列互换，得到一个新矩阵()jinma，称为A的转置矩阵，记为A或TA.若TAA时，称A为对称阵.5.分块矩阵：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵A的子块，以这些子块为元素组成的（形式上的）矩阵称为矩阵A的分块矩阵.对于矩阵的行列数较大时，可采用矩阵的分块方式，把矩阵的子块作为元素进行相应的运算，使运算简单化.6.逆矩阵的概念：1）设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得ABBAE，则称方阵A为可逆方阵，并称B为方阵A的逆矩阵，记为1A.2）方阵A可逆的充分必要条件为0A，且有11AAA，其中A为方阵A的伴随矩阵.3）设A为n阶方阵，若0A，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.7．初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等变换：1）对调两行（列）；2）以数k(0k)乘某一行（列）中的所有元素；3）把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换.如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等阶，记作AB.8．初等矩阵：1）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.2）初等方阵皆可逆，且有矩阵的初等变换与初等矩阵的以下关系：设矩阵()ijmnAa，对A施行一次初等行变换就相当于用一个相应（同种）的m阶初等矩阵左乘矩阵A；而对A施行一次初等列变换就相当于用一个相应（同种）的n阶初等矩阵右乘矩阵A.9．矩阵的秩：设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，并所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称矩阵A的秩为r，记作秩（A）.并规定零矩阵的秩等于0.10．等价矩阵的有关性质：1）若矩阵A经有限次初等行（列）变换变成矩阵B，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价，而A的任意r个列（行）向量与B中对应的r个列（行）向量有相同的线性相关性；2）若矩阵A与B等阶，则秩（A）=秩（B）；3）矩阵A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等矩阵12,,,sPPP，使得12sAPPP；84）mn矩阵AB的充要条件是：存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q，使PAQB.5)利用矩阵的初等行变换化成阶梯矩阵或行最简形，其中非零行向量的个数即是矩阵的秩.（二）综合举例例1设111111111A，当1n是不小于的整数时，则nA=.答11113111111()n例2设n阶方阵A的伴随矩阵为,A证明1）若,AO